東京女子大学の問題【2020年2日目第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学の2020年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

難易度は☆☆☆☆です。

空間座標の問題ですが、メインは2次関数です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

求めるものは $AP$ の長さの最小値なので $\overrightarrow{AP}$ を成分表示します。

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$ であることから

$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\left( \frac{2}{3}t-a,-\frac{2}{3}t,\frac{1}{3}t+2\right)$

になります。この成分表示から $\overrightarrow{AP}$ の大きさを求めます。

$\displaystyle |\overrightarrow{AP}|=\left\{ t-\left( \frac{2}{3}a-\frac{1}{3}\right) \right\} ^{2}+\frac{5}{9}a^{2}-\frac{8}{9}a+\frac{32}{9}$

となりますので、 $\displaystyle \{ m(a)\} ^{2}=\frac{5}{9}a^{2}-\frac{8}{9}a+\frac{32}{9}$ となります。

この $\{ m(a)\} ^{2}$ の最小値を求めますが、2次関数になっていますので平方完成によって求めることができます。

$\displaystyle \{ m(a)\} ^{2}=\frac{5}{9}\left( a-\frac{4}{5}\right) ^{2}+\frac{16}{5}$

ですので、 $\{ m(a)\} ^{2}$ の最小値は $\displaystyle a=\frac{4}{5}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{16}{5}$ をとります。

$m(a)$ はその平方根なので $m(a)$ は $\displaystyle a=\frac{4}{5}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5}$ になります。

ベクトルが成分表示されているので解く方針は立てやすいかと思います。

ただ、計算が大変になります。

2次関数の最小値の最小を求める問題になりますが、この問題に関しては色々な問題集に載っている問題です。

全単元を復習することが理想ですが、入試が近くなっているので入試問題で復習していくほうが良いかもしれませんね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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