芦屋大学の過去問【2023年一般入試】

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回の問題

芦屋大学2023年一般入試の問題です。

会話形式の問題が去年より増えていますが、あまり気にする必要はないです。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

去年より易化しているように思います。与えられている問題を素直に解けば会話文はほとんど読まなくても済みそうです。解き方を忘れてしまったら会話文をヒントにしてください。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

(1)まずは各文字についての次数を確認します。 $x$ についても $y$ についても次数は $2$ ですので、どちらかの文字について降べきの順に整理します。次のようにしていきます。今回は $x$ について整理してから因数分解をしています。

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+4xy+2y^{2}-3x-3y-27&=&2x^{2}+(4y-3)x+2y^{2}-3y-27\\ &=&2x^{2}+(4y-3)x+(2y-9)(y+3)\\ &=&\left\{ 2x+(2y-9)\right\} \left\{ x+(y+3)\right\} \\ &=&(2x+2y-9)(x+y+3)\end{eqnarray*}$

答：ア… $2$ 　イ… $-9$ 　ウ… $1$ 　エ… $1$ 　オ… $3$

(2)二項定理を用いれば

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}$

答：カ… $1$ 　キ… $5$ 　ク… $10$ 　ケ… $10$ 　コ… $5$ 　サ… $1$

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

(1)放物線Aのグラフは原点と $(4,0)$ を通るので、このグラフの方程式は

$y=ax(x-4)$ …①

とおくことができます。また、放物線の対称性から、 $x=2$ が軸で、図から頂点が $(2,-4)$ であることがわかりますので、①の式にこの数値を代入すると $a=1$ であることが求められます。よって、放物線Aの式は

$y=x^{2}-4x$

となります。放物線Bは点 $(-3,0),\ (1,0)$ を通りますので、グラフの方程式を

$y=b(x+3)(x-1)$ …②

とおくことができます。放物線Bは点 $(0,6)$ を通りますので、この数値を②の式に代入すると $b=-2$ であることが求められます。したがって、放物線Bの方程式は

$y=-2x^{2}-4x+6$

となります。

答：ア… $1$ 　イ… $-4$ 　ウ… $0$ 　エ… $-2$ 　オ… $-4$ 　カ… $0$

(2)放物線A $y=x^{2}-4x$ と直線 $y=2x-5$ の交点の座標は連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&x^{2}-4x\\ y&=&2x-5\end{array}\right.$

の実数解になります。これを解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4x&=&2x-5\\ x^{2}-6x+5&=&0\\ (x-1)(x-5)&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、交点の座標は $(1,-3),\ (5,5)$ となります。

答：キ… $-3$ 　ク… $5$ 　ケ… $5$

(3)求める面積を図で表すと、次のようになります。

求める面積を $S$ とすると

$\begin{eqnarray*} S&=&\int^{5}_{1}\left\{ 2x-5-(x^{2}-4x)\right\} dx\\ &=&\int^{5}_{1}(-x^{2}+6x-5)dx\\ &=&\frac{1}{6}(5-1)^{3}\\ &=&\frac{32}{2}\end{eqnarray*}$

答：コ… $2$ 　サ… $32$

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

上に３回、右に５回進めば良いので、AからBへ向かう最短経路の総数は、「↑」を3つ、「→」を5つ並べる順列の総数になります。これを計算すると

$\displaystyle \frac{8!}{3!5!}=56$ 通り

点Cを通る最短経路の総数は、A→Cの下→C→Cの上→Bの順に進めば良いので

$\displaystyle \frac{3!}{2!}\times 1\times \frac{4!}{3!}=12$ 通り

となります。

この問題の「エ」の模範解答（大学のサイトの解答）が30通りとなっていますが、点Cが図の点Cの下にある交差点が正しいとすると、点Cを通る最短経路の総数は

$\displaystyle \frac{3!}{2!}\times \frac{5!}{3!2!}=3\times 10=30$

となります。図の点の位置が間違っているのか、模範解答が間違っているのかは問い合わせをしていませんのでわかりませんが、今回は図の通りの解答で出します。

答：ア… $3$ 　イ… $5$ 　ウ… $56$ 　エ… $12$

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

この会話文は次の問題についての会話です。

$AB=4,\ BC=5,\ CA=6$

$\triangle ABC$

この問題を普通に解答すると次のようになります。

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{6^{2}+4^{2}-5^{2}}{2\times 6\times 4}\\ &=&\frac{36+16-25}{48}\\ &=&\frac{27}{48}\\ &=&\frac{9}{16}\end{eqnarray*}$

三角比の相互関係を用いると $\displaystyle \sin{A}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$ であるので、 $\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ は、正弦定理により

$\displaystyle \frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=2R$

したがって、 $\displaystyle R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$ であるので、 $\triangle ABC$ の外接円の面積は $\displaystyle \frac{64\pi }{7}$

また、 $\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 6\times 4\times \frac{5\sqrt{7}}{16}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

であるので、 $\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ は

$\displaystyle \frac{1}{2}r(4+5+6)=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

より $\displaystyle r=\frac{\sqrt{7}}{2}$ である。したがって、 $\triangle ABC$ の内接円の面積は $\displaystyle \frac{7\pi }{4}$

解く順序は会話文と入れ替わっている部分がありますが、そのあたりに注意をして穴埋めを行っていきます。

答：ア… $1$ 　イ… $9$ 　ウ… $16$ 　エ… $5\sqrt{7}$ 　オ… $16$

カ… $15\sqrt{7}$ 　キ… $4$ 　ク… $\sqrt{7}$ 　ケ… $2$ 　コ… $7\pi$

サ… $4$ 　シ… $8\sqrt{7}$ 　ス… $7$ 　セ… $64\pi$ 　ソ… $7$

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解を $\alpha ,\ \beta$ とすると

$\displaystyle \alpha +\beta =-\frac{b}{a},\ \alpha \beta =\frac{c}{a}$

が成り立ちます。これが2次方程式の解と係数の関係です。これを用いて問題を解くと次のようになります。

2次方程式の解と係数の関係より $\alpha +\beta =3,\ \alpha \beta =4$ である。したがって

$\begin{eqnarray*} \alpha ^{2}+\beta ^{2}&=&(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta \\ &=&3^{2}-2\times 4\\ &=&9-8\\ &=&1\\ \alpha ^{3}+\beta ^{3}&=&(\alpha +\beta )^{3}-3\alpha \beta (\alpha +\beta )\\ &=&3^{3}-3\times 4\times 3\\ &=&27-36\\ &=&-9\end{eqnarray*}$

あとは会話文の流れに注意して穴埋めを行うだけです。

答：ア… $\displaystyle -\frac{b}{a}$ 　イ… $\displaystyle \frac{b}{a}$ 　ウ… $3$ 　エ… $4$ 　オ… $1$ 　カ… $-9$

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

この8つのデータの平均を $\bar{x}$ とすると

$\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{1}{8}(10+12+10+12+6+7+10+9)\\ &=&\frac{1}{8}\times 76\\ &=&\frac{19}{2}\end{eqnarray*}$

ですので、このデータの分散 $\sigma ^{2}$ は

$\begin{eqnarray*} \sigma ^{2}&=&\frac{1}{8}\left\{ (10-\bar{x})^{2}+(12-\bar{x})^{2}+(10-\bar{x})^{2}+(12-\bar{x})^{2}+(6-\bar{x})^{2}\right.\\ &&\left. +(7-\bar{x})^{2}+(10-\bar{x})^{2}+(9-\bar{x})^{2}\right\} \\&=&\frac{1}{8}\left( \frac{1}{4}+\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+\frac{25}{4}+\frac{49}{4}+\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) \\ &=&\frac{1}{8}\times \frac{128}{4}\\ &=&4\end{eqnarray*}$