徳島県教員採用試験の問題【2022年中高共通第4問】

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今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文（記述式）

関数 $\displaystyle y=2\sin{x}+\sqrt{5k^{2}}\cos{x}\ \left( 0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$ …①について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 $k$ は実数とする。

(1) $k=1$ のとき、①を加法定理を用いて変形することについて、 $A$ さんと $B$ さんが次のように考察しました。

$A$ さん：三角関数の加法定理から、 $\sin{(x+\alpha )}=$ （ア）…②となるね。

$B$ さん：①には、 $\sin{x}$ と $\cos{x}$ が含まれているから、 $\sin{\alpha }$ と $\cos{\alpha }$ になる値があると、うまく変形できそうだけど、 $\sin{\alpha }$ と $\cos{\alpha }$ はともに（イ）以下である必要があるから、工夫が必要だね。

$A$ さん：直角をはさむ2辺の長さが $2,\ \sqrt{5}$ となる直角三角形を考えてみたらどうかな。三平方の定理を利用すると、直角三角形の斜辺の長さは（ウ）となるね。そうすると、

$2\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}=$ （ウ）（（エ） $\sin{x}+$ （オ） $\cos{x}$ ）

と変形できるよ。

$B$ さん：そこまでわかれば（ア）と（エ） $\sin{x}+$ （オ） $\cos{x}$ を比較して $\sin{\alpha }=$ （カ）、 $\cos{\alpha }=$ （キ）とおけば、①は、

$y=$ （ウ） $\displaystyle \sin{(x+\alpha )}\ \left( 0\lt \alpha \lt \frac{\pi }{2}\right)$ と変形できるね。

$A$ さん：同じように考えれば、他の三角関数の加法定理を使って、 $\underline{k=1}$ のときの①を変形することができそうだね。

(a)（ア）から（キ）にあてはまる最も適切な式または値を答えなさい。ただし、（ア）には式が入り、（イ）から（キ）には値が入る。また、同じ記号には同じ式または値が入るものとする。

(b)下線部について、②以外の三角関数の加法定理を用いて①を変形しなさい。

(2)①について、 $y$ の最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$k=1$ のとき

三角関数の加法定理は

・ $\sin{(x+\alpha )}=\sin{x}\cos{\alpha }+\cos{x}\sin{\alpha }$

・ $\cos{(x+\alpha )}=\cos{x}\cos{\alpha }-\sin{x}\sin{\alpha }$

だけ覚えておくと充分です。この加法定理から、三角関数の合成の公式

$a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(x+\alpha )}$

ただし $\displaystyle \sin{\alpha }=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\ \cos{\alpha }=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

が導かれます。このとき $\sin{\alpha },\ \cos{\alpha }$ の値は1以下の値になります。この公式より

$\displaystyle 2\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}=3\sin{(x+\alpha )}\ \left( \sin{\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{3},\ \cos{\alpha }=\frac{2}{3}\right)$

と変形できます。これを元にすると会話文の空欄を埋めることができます。下線部の $A$ さんの発言に関しては

$\displaystyle 2\sin{x}+\sqrt{5}\cos{x}=3\cos{(x-\alpha )}\ \left( \sin{\alpha }=\frac{2}{3},\ \cos{\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

と変形できることを言っています。

$y$ の最小値

先程と同じようにして $y$ を変形すると

$\displaystyle y=\sqrt{4+5k^{2}}\sin{(x+\alpha )}\ \left( \sin{\alpha }=\frac{\sqrt{5k^{2}}}{\sqrt{4+5k^{2}}},\ \cos{\alpha }=\frac{2}{\sqrt{4+5k^{2}}}\right)$

と変形できます。 $\displaystyle 0\lt \alpha \leqq \frac{\pi }{4}$ のとき $\sin{\alpha }\lt \cos{\alpha }$ 、 $\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \alpha \lt \frac{\pi }{2}$ のとき $\sin{\alpha }\gt \cos{\alpha }$ となりますので、 $y$ の最小値は

$\displaystyle 0\lt \alpha \leqq \frac{\pi }{4}$ のとき $x=0$ で最小値 $\sqrt{5k^{2}}$ 、 $\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \alpha \lt \frac{\pi }{2}$ のとき $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}$ で最小値 $2$ をとります。