マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年2日目第3問】

三角関数入試問題

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今週は東京女子大学の2020年の問題です。

今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図形の問題です。数学Ⅱの三角関数の知識が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回は図形の問題なので、問題文を理解して図を描きます。下の図のようになります。

黒い直線は $\angle BAC$ の二等分線です。

図では $\angle BAC$ は鋭角ですが、問題では鈍角であることに注意します。

$\triangle ABC$ の面積が $\displaystyle \frac{9}{2}$ であることから

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 5\sin{2\theta }=\frac{9}{2}$ が成り立ちますので、 $\sin{2\theta }=\frac{3}{5}$ となります。

したがって、 $2\theta \gt 90^{\circ }$ であることと三角関数の相互関係から $\displaystyle \cos{2\theta }=-\frac{4}{5}$ と求められます。

この値を使って $\cos{\theta }$ と $\sin{\theta }$ の値を求めますが、ここでは半角の公式を使います。

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{1+\cos{2\theta }}{2},\ \sin{\theta }=\frac{1-\cos{\theta }}{2}$ より

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{10}}{10},\ \sin{\theta }=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

となります。

さいごは $AD$ の長さを求めるのですが、これは $\triangle ABC$ を $AD$ で2つに分けて考えると

$\displaystyle \frac{3}{2}AD\sin{\theta }+\frac{5}{2}AD\sin{\theta }=\frac{9}{2}$

より、 $\displaystyle AD=\frac{3\sqrt{10}}{8}$ と求めることができます。

いかがだったでしょうか？

$2\theta$ の三角関数の値を用いる必要があるので、倍角の公式と半角の公式が必要な問題でした。

三角関数の単元でおさえておくべきところは加法定理とそこから導出される倍角の公式や半角の公式、三角関数の合成です。

この辺りが理解できれば三角関数の問題は怖くはないかと思います。

　

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