徳島県教員採用試験の問題【2022年中学校第2問】

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今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中学校第2問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)次の2次方程式を2通りの方法で解きなさい。

$x^{2}+8x+10=0$

(2) $a$ と $b$ は、ともに1桁の自然数で $a\gt 0$ である。十の位の数が $a$ 、一の位の数が $b$ である2桁の自然数を $X$ とし、 $X$ の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数を $Y$ とするとき、 $X^{2}-Y^{2}=2376$ となる自然数 $X$ をすべて求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次方程式の解法と2桁の整数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の問題について

元の問題には2通りで解くように要請されていますので、その解き方を解説します。

平方完成による解き方

$\begin{eqnarray*} x^{2}+8x+10&=&0\\ x^{2}+8x+16&=&6\\ (x+4)^{2}&=&6\\ x+4&=&\pm \sqrt{6}\\ x&=&-4\pm \sqrt{6}\end{eqnarray*}$

解き方は

①平方を作るために両辺に適切な数を加える。定数項が1次の係数の半分の2乗になるようにする。

②平方を作る。

③両辺の平方根をとる。

④移項する。

という手順を踏めば解くことができます。

解の公式による解き方

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解は

$\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

です。これが2次方程式の解の公式ですが、今回の問題の場合は $a=1,\ b=8,\ c=10$ です。これらの数値を代入して計算していくと $x=-4\pm \sqrt{6}$ となります。

(2)の問題について

$X$ は十の位の数が $a$ 、一の位の数が $b$ の2桁の自然数ですので $X=10a+b$ と表すことができます。 $Y$ は $X$ の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数ですので $Y=10b+a$ となります。よって

$\begin{eqnarray*} X^{2}-Y^{2}&=&(X+Y)(X-Y)\\ &=&(11a+11b)(9a-9b)\\ &=&99(a+b)(a-b)\end{eqnarray*}$

となります。与えられた条件は $X^{2}-Y^{2}=2376$ ですので

$(a+b)(a-b)=24$

が得られます。 $a$ と $b$ が1桁の自然数であることと $a\gt b$ であることを考えると、次の連立方程式が考えられます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b&=&12\\ a-b&=&2\end{array}\right. \ \left\{ \begin{array}{ccc}a+b&=&8\\ a-b&=&3\end{array}\right.\ \left\{ \begin{array}{ccc}a+b&=&6\\ a-b&=&4\end{array}\right.$

これらの方程式の解はそれぞれ $\displaystyle (a,b)=(7,5),\ (a,b)=\left( \frac{11}{2},\frac{5}{2}\right) ,\ (a,b)=(5,1)$ ですので、このうち $a$ と $b$ が1桁の自然数になっているものが求めるものです。よって $X$ の値は $X=75$ または $X=51$ ということになります。