マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

実数に関する問題【ベーシックスタイルStyle3、Same Style3】

数と式大学入試対策

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題ですが、問題の選定の都合上別の問題です。

今回はベーシックスタイルから実数に関する問題です。

今回の問題の原文（記述式）

(ベーシックスタイルStyle 3)

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$ 。小数部分を $b$ とするとき $a^{2}+2ab-b^{2}$ の値を求めよ。

(ベーシックスタイルSame Style 3)

$\sqrt{13}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき $a^{2}+b^{2}+3ab+5a-3b$ の値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

平方根の整数部分と小数部分から値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

解く方針

2問とも同じタイプの問題ですので、解く手順を示してから解答を示してみます。手順は

①平方根の整数部分を求める。

②小数部分を求める。

③数値を代入して計算する。

という手順を踏みます。問題を解いてみると次のようになります。

Style 3の場合

① $\sqrt{7}$ は $2(=\sqrt{4})\lt \sqrt{7}\lt 3(=\sqrt{9})$ を満たすので $a=2$

②したがって、 $b=\sqrt{7}-2$

③よって

$\begin{eqnarray*} a^{2}+2ab-b^{2}&=&2^{2}+2\cdot 2(\sqrt{7}-2)-(\sqrt{7}-2)^{2}\\ &=&4+4\sqrt{7}-8-(11-4\sqrt{7})\\ &=&-15+8\sqrt{7}\end{eqnarray*}$

Same Style 3の場合

① $\sqrt{13}$ は $3(=\sqrt{9})\lt \sqrt{13}\lt 4(=\sqrt{16})$ を満たすので $a=3$

②したがって、 $b=\sqrt{13}-3$

③よって

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}+3ab+5a-3b&=&(a^{2}+2ab+b^{2})+ab+5a-3b\\ &=&(a+b)^{2}+ab+5a-3b\\ &=&(\sqrt{13})^{2}+3b+5\cdot 3-3b\\ &=&13+15\\ &=&28\end{eqnarray*}$

注） $a+b=\sqrt{13}$

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

易しめの入試問題は解く方針を立てれば難なく解くことができます。

目標から逆算して考えていくと方針が立てやすいかと思います。

目標を達成するには何が必要かを考えることがポイントです。

　

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