帝京平成大学の問題【2022年一般入試問題1[1]】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は帝京平成大学2022年一般入試の問題です。

今回は問題1の[1]の問題です。

今週は解答する部分をあまり加工していないため、問題の原文は省略します。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

無理数の値に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$a$ を分母の有理化をします。次のような手順で変形していきます。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6-4\sqrt{2}}&=&\frac{6+4\sqrt{2}}{(6-4\sqrt{2})(6+4\sqrt{2})}\\ &=&\frac{6+4\sqrt{2}}{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}\\ &=&\frac{2(3+2\sqrt{2})}{36-32}\\ &=&\frac{2(3+2\sqrt{2})}{4}\\ &=&\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{eqnarray*}$

この $a$ の整数部分を求めてみます。 $(\sqrt{4}=) 2\lt 2\sqrt{2} (=\sqrt{8}) \lt 3(=\sqrt{9})$ より

$5\lt 3+2\sqrt{2}\lt 6$

となります。したがって $\displaystyle \frac{5}{2}\lt \frac{3+\sqrt{2}}{2}\lt 3$ であることがわかりますので、 $\displaystyle a\left( =\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\right)$ の整数部分は $2$ となります。小数部分は $a-2$ ですので