徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養の数学の問題です。

今回は中高共通問題第1問です。

今回の問題の原文

$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ を満たす正の整数 $x,y,z$ の組 $(x,y,z)$ をすべて求めなさい。ただし $x\leqq y\leqq z$ とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件式から整数の組を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$x,y,z$ の大小関係より $\displaystyle \frac{1}{z}\leqq \frac{1}{y}\leqq \frac{1}{x}$ となります。これを条件式に当てはめると

$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$

となります。したがって、 $x\leqq 3$ となります。 $x$ は正の整数なので $x=1,2,3$ です。 $x$ の値が3通り出ていますので、ここから場合分けをして考えていきます。

$x=1$ のとき、 $\displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ となります。これを満たす正の性質の組 $(x,y,z)$ は存在しません。

$x=2$ のとき、 $\displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ となります。先ほどと同様に、 $y,z$ の大小関係から $y\leqq 4$ が導かれますので、 $y=2,3,4$ となります。 $y=2$ のとき $\displaystyle \frac{1}{z}=0$ となりますが、これを満たす正の整数 $z$ は存在しません。 $y=3$ のとき $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{6}$ となりますので、 $(x,y,z)=(2,3,6)$ が求めるものの1つになります。 $y=4$ のとき $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{4}$ となりますので、 $(x,y,z)=(2,4,4)$ も求めるものの1つです。

$x=3$ のとき $\displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}$ となります。 $y,z$ の大小関係から $y\leqq 3$ となりますので、 $y=3$ となります。このとき、 $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{3}$ ですので、 $(x,y,z)=(3,3,3)$ は求めるものの1つです。