マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数と式・整数に関する問題ver.20220504

整数の性質教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数と式・整数に関する問題です。

今回は愛媛県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

大学入試でも出題されておかしくない問題です。最後の数え上げの処理に注意が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

話を簡単にするため、順番を $a\leqq b\leqq c$ となるように設定します。

このようにすることによって答えの候補を絞ります。

条件式から

$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqq \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{3}{a}$

となりますので、 $a\leqq 3$ であることがわかります。

したがって、 $a=1,\ a=2,\ a=3$ のときで場合分けをして考えれば良さそうです。

$a=1$ のときは $\frac{1}{a}=1$ となってしまうので、この時点でアウトです。

$a=2$ のときは $\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ となります。

最初と同じように $b$ の候補を絞ると $\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqq \frac{1}{b}+\frac{1}{b}=\frac{2}{b}$ となりますので、 $b\leqq 4$ であることがわかります。

$a\leqq b$ と設定しているので、 $b$ の候補は $b=2,3,4$ になります。

$b=2$ のときは $\displaystyle \frac{1}{c}=0$ とならなければいけませんが、このような $c$ は存在しません。

$b=3$ のときは $\displaystyle \frac{1}{c}=\frac{1}{6}$ となるので $c=6$ です。

$b=4$ のときは $\displaystyle \frac{1}{c}=\frac{1}{4}$ となるので $c=4$ です。

最後に $a=3$ のときです。

このときは $\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}$ となれば良いですが、同じように $b$ の候補を絞ります。

$\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqq \frac{1}{b}+\frac{1}{b}=\frac{2}{b}$

となりますので、 $a\leqq b$ と合わせると $b=3$ しかありません。

このとき、 $\displaystyle \frac{1}{c}=\frac{1}{3}$ ですので $c=3$ となります。

以上から、1桁の自然数 $(a,b,c)$ の組の候補は

$(a,b,c)=(2,3,6),\ (2,4,4),\ (3,3,3)\cdots ①$

の3組です。これは $a\leqq b\leqq c$ という条件を課した場合です。

この条件はこちらで勝手に課した条件ですので、この条件を解除します。

つまり、①の数の並びの順列を考えれば、できる整数の総数が求められます。

3つとも異なる場合は $3!=6$ 通り、同じ数が2個なら $\displaystyle \frac{3!}{2!}=3$ 通り、すべて同じ数なら $1$ 通りですので、できる整数の総数は

$6+3+1=10$

ということになります。

いかがだったでしょうか？

最後まで油断大敵ということは教員採用試験でも大学入試でもその他試験でも同じようです。

候補が絞れたら満足して答えを出しがちですが、考えられることはすべてあぶり出さないといけないということですね。

今後、解くときは気を付けていきたいと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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