徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第1問】

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今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)方程式 $2xy-5x+2y--9=0$ の整数解を求めなさい。

(2) $\left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}&=&1\\ 1\lt x\lt y\lt z&&\end{array}\right.\ \$ を満たす整数 $x,\ y,\ z$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

方程式を満たす整数解を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の問題について

このタイプの問題は因数分解ができないかどうかを考えてみます。条件式の左辺を変形すると

$\begin{eqnarray*} 2xy-5x+2y-9&=&(x+1)(2y-5)-4$

と変形できますので、条件式は

$(x+1)(2y-5)=4$

となります。 $x$ と $y$ は整数ですので $2y-5$ は奇数であることがわかります。したがって、次のパターンが考えられます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} x+1&=&4\\ 2y-5&=&1\end{array}\right.\ \ \ \left\{ \begin{array}{ccc} x+1&=&-4\\ 2y-5&=&-1\end{array}\right.$

それぞれの連立方程式を解くと $(x,y)=(3,3),\ (-5,2)$ となります。

(2)の問題について

$1\lt x\lt y\lt z$ より $\displaystyle 1\gt \frac{1}{x}\gt \frac{1}{y}\gt \frac{z}$ です。したがって

$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\lt \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$

が成り立ちます。この不等式の左辺は条件より値が $1$ ですので $1\lt x\lt 3$ であることが得られます。 $x$ は整数ですので $x=2$ であることがわかります。これを条件式に代入して整理すると

$\displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$

となります。 $x$ を求めた時と同じように $y$ の値を求めます。 $\displaystyle \frac{1}{2}\lt \frac{2}{y}$ が成り立ちますので $x\lt y\lt 4$ であることがわかります。 $x$ は $3$ より小さく、 $y$ が整数であることから $y=3$ であることがわかります。よって