マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2010年前期日程第4問】

微分積分入試問題

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今週は2009年・2010年首都大学東京の問題です。

今回は2010年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

絶対値を含む定積分の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

被積分関数に絶対値が含まれますので、場合分けをして考えます。

$(3x-4)(x-4)\geqq 0$ と $(3x-4)(x-4)\lt 0$ の解はそれぞれ $\displaystyle x\leqq \frac{4}{3},\ 4\leqq x$ 、 $\displaystyle \frac{4}{3}\lt x\lt 4$ となりますので、考えている $a$ の範囲では $\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq \frac{4}{3}$ と $\displaystyle \frac{4}{3}\leqq a\leqq \frac{3}{2}$ に場合分けをして $S(a)$ を求めます。

$\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq \frac{4}{3}$ のとき

$\displaystyle S(a)\int_{a}^{\frac{4}{3}}(3x-4)(x-4)dx-\int_{\frac{4}{3}}^{a+1}(3x-4)(x-4)dx$

$\displaystyle =-2a^{3}+13a^{2}-19a+\frac{269}{27}$

となりますので、 $S^{\prime }(a)=-6a^{2}+26a-19$ となります。

このとき $S^{\prime }(a)=0$ となる $a$ の値は $\displaystyle a=\frac{13\pm \sqrt{55}}{6}$ です。

$\displaystyle \frac{4}{3}\leqq a\leqq \frac{3}{2}$ のとき

$\displaystyle S(a)=-\int_{a}^{a+1}(3x-4)(x-4)dx$

$\displaystyle =-3a^{2}+13a-9$

となりますので、 $S^{\prime }(a)=-6a+13$ となります。

したがって、 $S(a)$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&\displaystyle \frac{1}{2}&\cdots &\displaystyle \frac{13-\sqrt{55}}{6}&\cdots &\displaystyle \frac{4}{3}&\cdots &\displaystyle \frac{3}{2}\\ \hline S^{\prime }(a)&&-&0&+&&+&\\ \hline S(a)&&\searrow &min&\nearrow &&\nearrow &\\ \hline \end{array}$

よって、 $S(a)$ を最小にする $a$ の値は $\displaystyle a=\frac{13-\sqrt{55}}{6}$ となります。

いかがだったでしょうか？

絶対値記号が含まれる定積分の計算がメインの問題でした。

絶対値記号の扱い方は、絶対値記号の中身の符号で場合分けをして考えます。

計算量は増えてしまいますが、ひとつひとつ丁寧に進めていけば正解には行き着くのではないかと思います。

　

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