マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2018年前期日程第1問】

微分積分入試問題

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今週は首都大学東京2017年・2018年の問題です。

今回は2018年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

積分で表された関数の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

元の問題には $f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 2x&(x\geqq 0)\\ -x&(x\lt 0)\end{array}\right.$ のグラフをかけとありますので、そのグラフを描きます。

以下のようになります。

$x=0$ で関数が変わりますので、その点を含んでいるかどうかで場合分けをして積分を行います。

$x\lt -1$ のとき $f(x)=-x$ ですので

$\displaystyle g(x)=\int_{x}^{x+1}(-t)dt$

$\displaystyle =\left[ -\frac{1}{2}t^{2}\right] _{x}^{x+1}$

$\displaystyle =-x-\frac{1}{2}$

となります。

$-1\leqq x\lt 0$ のとき、 $x\leqq t\leqq x+1$ の区間に $0$ を含みますので

$\displaystyle g(x)=\int_{x}^{0}(-t)dt+\int_{0}^{x+1}2tdt$

$\displaystyle =\left[ -\frac{1}{2}t^{2}\right] _{x}^{0}+\left[ t^{2}\right] _{0}^{x+1}$

$\displaystyle =\frac{3}{2}x^{2}+2x+1$

となります。

$x\geqq 0$ のとき、 $f(x)=2x$ ですので

$\displaystyle g(x)=\int_{x}^{x+1}2tdt$

$\displaystyle =\left[ t^{2}\right] _{x}^{x+1}$

$=2x+1$

となります。

$y=g(x)$ は全体を通して関数が変わりますので、最小値を求めるためにグラフを描いてみます。以下のようになります。

グラフを見ると、 $-1\leqq x\leqq 0$ のところで最小値を取ることがわかりますのでその区間における関数の最小値を求めれば $g(x)$ の最小値が求まります。

$-1\leqq x\leqq 0$ のとき $\displaystyle g(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2x+1$ ですので、この式を平方完成して最小値を求めると、 $\displaystyle x=-\frac{2}{3}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{1}{3}$ となります。

いかがだったでしょうか？

途中で関数が変わるものを扱う場合は、変わり目を含むか含まないかで場合分けをして考えていきます。

そのような関数の扱いは教科書ではあまり出てこないので難しいかもしれませんが、変わり目がない関数の扱いは毎度やっているはずですので、そこに話を持っていけば今まで通りに扱えば良いということになります。

特に積分の計算が大変になりますが、場合分けを丁寧に行えば正解には行き着くだろうと思います。

　

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