徳島県教員採用試験の問題【2014年中高共通第5問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

等式 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x\int_{0}^{1}f(t)dt+2\int_{0}^{x}f^{\prime }(t)dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

定積分を含む等式から関数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

等式に定積分が含まれるので、同じ定積分を作ってみます。

定積分の値を文字でおいてみる

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt=a$ とおくと、等式は

$f(x)=x^{2}-ax+2f(x)$

となります。この式を整理すると $f(x)=-x^{2}+ax$ となります。

同じ定積分を作ってみる

先ほど出てきた等式を使って $a$ の値を求めていきます。両辺に $0$ から $1$ までの区間の定積分の値を考えると

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f(x)dx&=&\int_{0}^{1}(-x^{2}+ax)dx\\ &=&\left[ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{a}{2}x^{2}\right] _{0}^{1}\\ &=&-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}a\end{eqnarray*}$

となりますので、方程式 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}a$ が得られます。この方程式を解くと $\displaystyle a=-\frac{2}{3}$ ですので、求める関数は

$\displaystyle f(x)=-x^{2}-\frac{2}{3}x$

となります。

いかがだったでしょうか？

定積分を含む等式から関数を求める問題でした。

教科書用の問題集にも基礎問題として載っていますので、定期テストでも狙われる可能性はあります。

解法を覚えておけば大丈夫そうな問題です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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