徳島県教員採用試験の問題【2014年中高共通第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

$a,b,c$ を $0$ でない実数とし、 $\displaystyle \frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}$ のとき $\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ の値を求めなさい。

難易度は☆☆☆です。

比例式から値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

条件式の値を $k$ とおいて、求めたい式の値を求めていきます。

$\displaystyle \frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}=k$ とおくと、次の連立方程式が成り立ちます。

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c&=&ak\\ a+b+c&=&bk\\ a+b+c&=&ck\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

この辺々を足すと $3(a+b+c)=k(a+b+c)$ が得られます。この式を変形すると $(k-3)(a+b+c)=0$ となりますので、 $k=3$ または $a+b+c=0$ が出てくる条件になります。いずれかが成り立ちますので、ここからはこの2つを場合分けして考えます。

$a+b+c=3a$ が成り立ちますので、 $b+c=2a$ となります。同様に $a+b=2c,\ c+a=2b$ となりますので、この値を $\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ に代入すると

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}&=&\frac{2c\cdot 2a\cdot 2b}{abc}\\ &=&8\end{eqnarray*}$

と求めることができます。

$a+b+c=0$ ですので $a+b=-c$ となります。同様に $b+c=-a,\ c+a=-b$ ですので、先ほどと同じような計算により

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}&=&\frac{(-c)\cdot (-a)\cdot (-b)}{abc}\\ &=&-1\end{eqnarray*}$

と求めることができます。

比例式に関する問題は解き方が決まっています。

最初は比例式の値を文字でおきます。

その値を用いて条件をあぶり出せば、あとは計算をしていくだけですので、そこまで難しい問題ではなさそうです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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