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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週は首都大学東京2013年・2014年の問題です。
今回は文系学部前期日程の第2問と第3問です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
さいころ投げに関する問題と漸化式の問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)さいころの出目と座標の動きに注目すると、の確率で
軸方向に
、
の確率で
軸方向に
、
の確率で動かないということになります。
軸方向に
に進む事象を
、
軸方向に
に進む事象を
、動かない事象を
とすると、さいころを
回振って点
の座標が
となる確率は、
の事象がそれぞれ1回ずつ起これば良いので、求める確率は
となります。同じように、さいころを回振って点
の座標が
で
となる確率は
が1回、
が2回、
が2回または
が2回、
が1回、
が2回起これば良いので、求める確率は
となります。
(2)漸化式の両辺をで割ると
となりますので、とおくと
となります。
さらに漸化式を変形するととなりますので、数列
の階差数列が
となります。
したがって、となります。
のとき、
より
ここで、を1以外の実数とすると
とおくと
したがって、となります。
この式においてとすると
これはのときも成り立ちます。
よってとなりますので、この両辺に
をかけると
となります。
いかがだったでしょうか?
確率の問題に関しては、それぞれの事象が起こる確率をそれぞれ求めておいて、順列を考えると求めることができます。
確率の計算を考えることが少し難しいかもしれません。
漸化式の問題に関しては、問題に誘導が付いていますので、その誘導に沿って解いていくと正解に行きつくかと思います。
最終的に階差数列にもち薦ことができますので、階差数列を使って一般項を求めていきます。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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