マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2013年前期日程第2問・第3問】

場合の数と確率数列入試問題

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今週は首都大学東京2013年・2014年の問題です。

今回は文系学部前期日程の第2問と第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

さいころ投げに関する問題と漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)さいころの出目と座標の動きに注目すると、 $\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率で $x$ 軸方向に $+1$ 、 $\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率で $y$ 軸方向に $+1$ 、 $\displaystyle \frac{1}{3}$ の確率で動かないということになります。

$x$ 軸方向に $+1$ に進む事象を $A$ 、 $y$ 軸方向に $+1$ に進む事象を $B$ 、動かない事象を $C$ とすると、さいころを $3$ 回振って点 $P$ の座標が $(1,1)$ となる確率は、 $A,\ B,\ C$ の事象がそれぞれ1回ずつ起これば良いので、求める確率は

$\displaystyle 3!\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$

となります。同じように、さいころを $5$ 回振って点 $P$ の座標が $(m,n)$ で $m+n=3$ となる確率は $A$ が1回、 $B$ が2回、 $C$ が2回または $A$ が2回、 $B$ が1回、 $C$ が2回起これば良いので、求める確率は

$\displaystyle \frac{5!}{1!2!2!}\times \left( \frac{1}{3}\right) ^{5}+\frac{5!}{2!1!2!}\times \left( \frac{1}{3}\right) ^{5}=\frac{20}{81}$

となります。

(2)漸化式の両辺を $2^{n+1}$ で割ると

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_{n}}{2^{n}}+\frac{n}{2^{n+1}}$

となりますので、 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと $\displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\frac{n}{2^{n+1}}$ となります。

さらに漸化式を変形すると $\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=\frac{n}{2^{n+1}}$ となりますので、数列 $\{ b_{n}\}$ の階差数列が $\displaystyle \frac{n}{2^{n+1}}$ となります。

したがって、 $\displaystyle c_{1}=\frac{1}{2^{1+1}}=\frac{1}{4}$ となります。

$n\leqq 2$ のとき、 $\displaystyle b_{1}=\frac{a_{1}}{2^{1}}=\frac{1}{2}$ より

$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^{k+1}}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}$

ここで、 $r$ を1以外の実数とすると $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}kr^{k}$ とおくと

$\displaystyle S_{n}-rS_{n}=\sum_{k=1}r^{k}-nr^{n+1}$

$\displaystyle (1-r)S_{n}=r\frac{1-r^{n}}{1-r}-nr$

したがって、 $\displaystyle S_{n}=\frac{r-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}-\frac{nr^{n+1}}{1-r}$ となります。

この式において $\displaystyle r=\frac{1}{2}$ とすると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k\left( \frac{1}{2}\right) ^{k}=2-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}-(n-1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$

$\displaystyle =2-(n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$

これは $n=1$ のときも成り立ちます。

よって $\displaystyle b_{n}=\frac{3}{2}-(n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$ となりますので、この両辺に $2^{n}$ をかけると

$a_{n}=3\cdot 2^{n-1}-(n+1)$

となります。

いかがだったでしょうか？

確率の問題に関しては、それぞれの事象が起こる確率をそれぞれ求めておいて、順列を考えると求めることができます。

確率の計算を考えることが少し難しいかもしれません。

漸化式の問題に関しては、問題に誘導が付いていますので、その誘導に沿って解いていくと正解に行きつくかと思います。

最終的に階差数列にもち薦ことができますので、階差数列を使って一般項を求めていきます。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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