マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220529

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は香川県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

3項間漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

3項間漸化式の問題になりますが、これは特性方程式を解いて、その解を使って漸化式を変形します。

今回の漸化式の特性方程式は $x^{2}-4x+4=0$ です。

この方程式を解くと、 $x=2$ という重解を持ちます。

この場合、漸化式は $a_{n+2}-2a_{n+1}=2(a_{n+1}-2a_{n})$ と変形されます。

初期条件が $a_{1}=1,a_{3}=3$ ですので、数列 $\{ a_{n+1}-2a_{n}\}$ は初項 $1$ 、公比 $2$ の等比数列であることがわかります。

したがって $a_{n+1}-2a_{n}=2^{n-1}$ となります。

ここから一般項 $a_{n}$ を求めることになりますが、このままでは見通しが悪いです。

そこで、この漸化式の両辺を $2^{n+1}$ で割ると

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{4}$

となります。もう少し見通しを良くするために $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと

$\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{4}$

のようになります。これは数列 $\{ b_{n}\}$ の階差数列が $\displaystyle \frac{1}{4}$ であることを示していますが、言い換えると公差が $\displaystyle \frac{1}{4}$ の等差数列です。

したがって数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項は、初項が $\displaystyle \frac{1}{2}$ ですので

$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(n-1)=\frac{1}{4}n+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(n+1)$

ということになりますので、置き換えたものを元に戻すと

$a_{n}=(n+1)\cdot 2^{n-2}$

となります。

いかがだったでしょうか？

3項間漸化式で特性方程式が重解をもつパターンの問題でした。

このタイプの問題は結構忘れがちかと思いますので、チェックしておきたいです。

私も忘れかけていました…。解き方をちゃんと復習しておかないといけませんね。

　

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