マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

確率の問題ver.20220515

場合の数と確率教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された確率の問題です。

今回は神戸市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式を立てて解く問題です。

このような問題は余事象の確率の話が絡んでいることが多いです。

今回の場合も「晴れの日」と「雨の日」しか考えていませんので、「晴れではない日」＝「雨の日」ということになります。

2日後に晴れるパターンは

(1)2日連続で晴れ→確率は $\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

(2)次の日が雨で、その次の日が晴れ→確率は $\displaystyle \frac{1}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

の2つのパターンになります。

これら2つのパターンは同時には起こりませんので、和の法則により確率を求めます。

これを一般化して $n$ 日後に晴れである確率を求めていきます。

考える天気は1日手前の $n-1$ 日後が晴れなのか、雨なのかで場合分けをして考えます。

(1) $n-1$ 日後が晴れであったときは、 $n-1$ 日後が晴れである確率を $p_{n-1}$ と置いているので、問題の条件「晴れの日の次の日が晴れである確率は $\displaystyle \frac{3}{4}$ 」であることより、この条件下での $n$ 日後に晴れである確率は次のようになります。

$\displaystyle p_{n-1}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{4}p_{n-1}$

(2) $n-1$ 日後が雨であるとき、 $n-1$ 日後が雨である確率は「 $n-1$ 日後が晴れである」の余事象になりますので、 $1-p_{n-1}$ となります。

この次の日が晴れであれば良いので、この条件下での $n$ 日後に晴れである確率は次のようになります。

$\displaystyle (1-p_{n})\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}p_{n-1}$

(1)のパターンと(2)のパターンは同時には起こりませんので、和の法則により確率を求めます。そうすると

$\displaystyle p_{n}=\frac{1}{12}p_{n-1}+\frac{2}{3}$

という関係式が導かれます。

あとは初期条件さえ決まれば、数列 $\{ p_{n}\}$ の一般項が求められます。

$p_{1}$ の意味するところは、「1日後に晴れである確率」ですので、問題文の条件から $\displaystyle p_{1}=\frac{3}{4}$ です。

これで $p_{n}$ を求めるための準備ができました。

この関係式は2項間漸化式ですので、適切な解き方に沿って解いていけば一般項が求められます。

特性方程式 $\displaystyle \alpha =\frac{1}{12}\alpha +\frac{2}{3}$ を解くと、 $\displaystyle \alpha =\frac{8}{11}$ となりますので、漸化式は

$\displaystyle p_{n+1}-\frac{8}{11}=\frac{1}{12}\left( p_{n}-\frac{8}{11}\right)$

と変形ができます。 $\displaystyle p_{1}-\frac{8}{11}=\frac{1}{44}$ ですので、この関係式から数列 $\displaystyle \{ p_{n}-\frac{8}{11}\}$ は初項 $\displaystyle \frac{1}{44}$ 、公比 $\displaystyle \frac{1}{12}$ の等比数列であることがわかります。

あとは移項させて $p_{n}$ が求まればオールクリアです。

いかがだったでしょうか？

確率漸化式の問題は大学入試、教員採用試験とも余事象が絡んでいるケースが多いです。

漸化式を立てるときは余事象の確率の話を思い出しながら解くとやりやすいです。

そうでないと、難易度がグッと上がりますもんね。医学部でない限りそこまで要求しないと思います。

　

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