マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2017年1日目第1問・2017年1日目第2問】

数と式数列入試問題

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今週は東京女子大学の2017年の問題です。

今回は文系学部1日目の第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

第1問は比例式の値を求める問題、第2問は数列に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)比例式の値を求める問題です。

$\displaystyle \frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$ とおくと、次の式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} b+c&=&ak\\ c+a&=&bk\\ a+b&=&ck\end{array}\right.$

これらの式の両辺を加えると

$2(a+b+c)=k(a+b+c)$

したがって $(k-2)(a+b+c)=0$ となります。

この式より $k=2$ または $a+b+c=0$ であることがわかります。

$k=2$ のときの比例式の値は $k$ が比例式の値ですので $2$ です。

$a+b+c=0$ のとき、 $a+b=-c$ ですので、これを3つ目の式に代入すると $k=-1$ となります。

(2) $S_{1}=a_{1}$ ですので、条件式から

$\begin{array}{ccc}a_{1}&=&2a_{1}+1-6\\ a_{1}&=&5\end{array}$

となります。 $S_{2}=a_{1}+a_{2}$ であるので、条件式より

$\begin{array}{ccc} a_{1}+a_{2}&=&2a_{2}+2-6\\ a_{2}&=&9\end{array}$

のように $a_{1},\ a_{2}$ を求めることができます。

また、次のように計算すると、数列 $\{ a_{n}\}$ の漸化式が導かれます。

$\begin{array}{ccc} a_{n+1}&=&S_{n+1}-S_{n}\\ &=&2a_{n+1}+(n+1)-6-(2a_{n}+n-6)\\ &=&2a_{n+1}-2a_{n}+1\\ a_{n}&=&2a_{n}-1\end{array}$

導かれた漸化式から数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項を求めます。

その漸化式は2項間漸化式ですので、 $\alpha =2\alpha -1$ をみたす $\alpha$ の値を求めると $\alpha =1$ ですので、漸化式は

$a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)$

と変形できます。

$a_{1}-1=4$ ですので、 $a_{n}-1=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$ となります。

したがって $a_{n}=2^{n+1}+1$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は2問とも基礎問題になるかと思います。

数学を受験される方はチェックしておいたほうが良い問題です。

夏休みも終わりましたのでそろそろ入試問題にもチャレンジしていく時期ではないかなと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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