東京女子大学の問題【2020年1日目第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京女子大学の2020年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

難易度は☆☆☆☆です。

漸化式の問題です。対数関数を用いります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

対数関数には $\log_{a}{PQ}=\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}$ という性質があります。

この性質を用いると漸化式は $b_{n+1}=b_{n}+n$ と変形できます。

この漸化式から $b_{n+1}-b_{n}=n$ となりますので、数列 $\{b_{n}\}$ の階差数列が $n$ であることがわかります。

したがって、 $n\leqq 2$ のとき、 $b_{n}=0$ ですので

$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}n(n-1)$

となります。置き換えを元に戻すと $\displaysyle a_{n}=2^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ になります。

指数法則 $a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$ であることを用いると数列 $\{ a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの積は $2^{f(n)}$ とおくと

$\displaysyle f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}k(k-1)=\fra{1}{12}n(n+1)(n-1)$

となります。

指数関数と対数関数の知識が必要なので少し難しいかもしれません。

ですが、使う知識はほとんど基本的のところばかりです。

入試問題では今回のように2項目以上の単元が複合して出題されることが多々あります。

ですので、いつどこでどの項目の内容を使えば良いかを判断する練習を入試問題を通してやっていくと良いです。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)