マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2019年2日目第4問】

数列入試問題

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

漸化式の問題です。置き換えがあるのでそこまで難しくないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式の両辺を $\displaystyle \left( \frac{3}{4}\right) ^{n+1}$ で割ると

$\left( \frac{4}{3}\right) ^{n+1}a_{n+1}=\left( \frac{4}{3}\right) ^{n}a_{n}+\frac{4}{3}$

となります。ここで $\displaystyle \left( \frac{4}{3}\right) ^{n}a_{n}=b_{n}$ とおくと、漸化式は

$\displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\frac{4}{3}$

となります。この漸化式から数列 $\{ b_{n}\}$ は初項が $\displaystyle -\frac{4}{3}$ 、公差が $\displaystyle \frac{4}[3}$ の等差数列であることがわかります。

したがって、 $\displaystyle b_{n}=\frac{4}{3}n-\frac{8}{3}$ となります。

置き換えを元に戻すと $\displaystyle a_{n}=(n-2)\left( \frac{3}{4}\right) ^{n-1}$ となります。

数列 $\{ a_{n}\}$ の階差数列を考えると

$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\left( -\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}\right) \left( \frac{3}{4}\right) ^{n}$

となります。この符号を調べれば良いのですが、 $\displaystyle \left( \frac{3}{4}\right) ^{n-1}\gt 0$ ですので $-\frac{1}{4}n+\frac{5}{4}$ の符号を調べれば良いことになります。

$\displaystyle -/frac{1}{4}n+\frac{5}{4}=0$ となる自然数を求めると $n=5$ ですので、次のことがいえます。

$n\leqq 4$ のとき $a_{n}\lt a_{n+1}$ 、 $n=5$ のとき $a_{5}=a_{6}$ 、 $n\geqq 6$ のとき $a_{n}\gt a_{n+1}$

したがって、 $a_{n}$ の最大値は $\displaystyle a_{5}=a_{6}=\frac{243}{256}$ です。

いかがだったでしょうか？

最近の漸化式の問題は置き換えが指定されていることが多いです。

このような場合は問題の通りにやっていくと教科書に出てくるような漸化式に帰着できることがほとんどです。

ですので、基礎問題を身に付けておけば難なく解くことができます。

まずは練習でしょうか。このような問題はたくさんあるので数多くの問題とであるのが良いかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper