マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2020年1日目第1問】

三角関数入試問題

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今週は東京女子大学2020年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数を2次関数に帰着させる問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数は $y=-\sin^{2}{\theta }-2a\cos{\theta }+1-a$ となっています。

この場合は、三角関数の1次の項に $\cos{\theta }$ があるので、 $\cos{\theta }$ の式で表すことを考えます。

そうすると、三角関数の相互関係より

$y=\cos^{2}{\theta }-2a\cos{\theta }-a$

と表すことができます。

見通しをよくするために $\cos{\theta }=t$ とおくと、関数は

$y=t^{2}-2at-a$

と表すことができます。置き換えをした場合は、置き換えた文字のとりうる値の範囲に注意します。

$0\leqq \theta \lt 2\pi$ ですので $-1\leqq \cos{\theta }\leqq 1$ です。

したがって、 $-1\leqq t\leqq 1$ が $t$ のとりうる値の範囲です。

$y$ は $t$ の2次関数なので、平方完成して

$y=(t-a)^{2}-a^{2}-a$

としておきます。したがって、この関数の最小値 $m(a)$ は

$m(a)=\left\{ \begin{array}{cc} a+1&(a\lt -1)\\ -a^{2}-a&(-1\leqq a\leqq 1)\\ 1-3a&(a\gt 1)\end{array}\right.$

となります。

求めるものは $m(a)$ の最大値ですが、このままではわかりづらいのでグラフを描いてみます。

青い線が $y=m(x)$ のグラフです。

このグラフを見ると $-1\leqq x\leqq 0$ のところで最大値を持つことがわかります。

この部分の $m(a)$ の式は $\displaystyle -a^{2}-a=-\left( a+\frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{1}{4}$ ですので、 $m(a)$ は $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\displaystyle \frac{1}{4}$ をとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

三角関数やその他の関数を置き換える場合は置き換えた文字のとりうる値の範囲に注意する必要があります。

そのためには置き換えた関数の特徴をとらえておかなければなりません。

このあたりは基礎事項になりますので、こういうところは自由自在に思い出せれるようにしておきたいですね。

　

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