マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

教員採用試験問題集のチェックテスト【数列】

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験問題集に載っているチェックテストの問題です。

今回は数列の問題です。

今回の問題の原文

$a_{1}=a_{2}=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\ (n=1,2,3,\cdots )$ で定められる数列について、次の問いに答えよ。

(1)一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(2)数列 $\displaystyle \{ \frac{\log{a_{n}}}{n}\}$ の極限を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

3項間漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式の問題の解く方針は

・特性方程式を立てて、その方程式を解く

・漸化式を変形して等比数列に話をもっていく

になります。まずは特性方程式を解くことですが、今回の漸化式の場合は、 $a_{n+2}=x^{2},\ a_{n+1}=x,\ a_{n}=1$ とおいた

$x^{2}=x+1$

を解きます。この方程式の解は $\displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ となります。計算しやすいように $\displaystyle \alpha =\frac{1- \sqrt{5}}{2},\ \beta =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とおくと、漸化式は

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}&=&\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n})\\ a_{n+2}-\beta a_{n+1}&=&\alpha (a_{n+1}-\beta a_{n})\end{eqnarray*}$

と変形できます。これらの関係式は等比数列であることを表しますので、初項を求めて一般項を出していきます。今回の場合は

$1-\beta =\alpha ,\ 1-\alpha =\beta$

になることに注意すると

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-\alpha a_{n}&=&\beta ^{n}\\ a_{n+1}-\beta a_{n}&=&\alpha ^{n}\end{eqnarray*}$

となります。この2式から $(\beta -\alpha )a_{n}=\beta ^{n}-\alpha ^{n}$ となります。 $\beta -\alpha =\sqrt{5}$ ですので

$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \beta ^{n}-\alpha ^{n}\right)$

となります。対数関数の性質を用いると

$\displaystyle \frac{\log{a_{n}}}{n}=-\frac{1}{2n}\log{5}+\log{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+\frac{1}{n}\log{\left\{ 1-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right) ^{n}\right\} }$

となります。よって、この極限値は $\displaystyle \log{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題はフィボナッチ数列に関する問題でした。

3項間漸化式の問題が大学で出題される場合は、学習指導要領範囲外になるので誘導が付いていることが多いです。

ですので、大学入試の場合は誘導の通りに解いても問題は無いです。

教員採用試験の場合は数学の専門家が解く問題ですので、解き方を身に付けておかないといけなかもしれません。

　

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