マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220416

数列入試問題

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今週は数列の入試問題です。

今回は2018年弘前大学で出題された問題です。

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

連立漸化式の問題です。普通なら片方の数列を消去して3項間漸化式に帰着しますが、この問題では別の方法でアプローチします。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

元々の問題はすべての自然数nについて

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n-1}=a_{n}\sqrt{2}+b_{n}\sqrt{3}$

であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。とありますが、ここでは直接求めてみることにします。

$d_{n+1}=a_{n+1}\sqrt{2}+b_{n+1}\sqrt{3}$

$=(5a_{n}+6b_{n})\sqrt{2}+(4a_{n}+5b_{n})\sqrt{3}$

$=(5+2\sqrt{6})a_{n}\sqrt{2}+(5+2\sqrt{6})b_{n}\sqrt{3}$

$=(5+2\sqrt{6})(a_{n}\sqrt{2}+b_{n}\sqrt{3})$

$=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}d_{n}$

となりますので、数列 $\{ d_{n}\}$ は初項 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 、公比 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$ の等比数列であることがわかりますので

$d_{n}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n-1}$

となります。同様にして数列 $\{ c_{n}\}$ の一般項も求めることができます。

あとは数列 $\{ a_{n}\}$ と数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項を求めるだけですが、数列 $\{ c_{n}\}$ と数列 $\{ d_{n}\}$ の一般項は求められていますので、これを使って数列 $\{ a_{n}\}$ と数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項を求めていきます。

いかがだったでしょうか？

前半さえわかればクリアできそうな問題でした。

元々の問題は $d_{n}$ の一般項がわかっている状況ですので難易度的にはもう少し易しいかもしれません。

数学的帰納法による証明問題はほぼ答えがわかっているような気がして、マーク式の問題にするのは難しいです。

　

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