数列の問題ver.20220524 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は山形県教員採用試験で出題された問題です。

難易度は☆☆☆です。

一部誘導を付け加えています。大学入試でも出題されそうな問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

分数型は逆数を考えて関係式を立てやすい形にしておきます。

今回の場合は

$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{3}$

となりますが、見通しを良くするために $\displaystyle b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ とおくと

$\displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{3}$

という関係式になります。

これは数列 $\{ b_{n}\}$ が初項 $b_{1}=1$ 、公差 $\displaystyle \frac{1}{3}$ の等差数列であることがわかりますので、

$b_{n}=\displaystyle \frac{n+2}{3}$

となります。

したがって $\displaystyle a_{n}=\frac{3}{n+2}$ となります。

最後の和の計算は

$\displaystyle a_{k}a_{k+1}=\frac{3}{k+2}\times \frac{3}{k+3}=\frac{9}{(k+2)(k+3)}=9\left( \frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)$

というように式変形しておくと、途中の項が上手く消えて計算が楽になります。

この類の問題の出題意図は和の記号がしっかり理解ができているかどうかを確認するためのものかと思います。

大学入試の問題でもよく目にするオーソドックスな問題です。

問題の流れとしてもよくみるようなものです。

実際の問題には置き換えによる誘導がありませんが、誘導なしでも解けるようにしておきたい問題かもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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