数列の問題ver.20220430 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は代ゼミ高2模試2012年の過去問です。

今回は第2回で出題された数列の問題です。

難易度は☆☆☆です。

等差数列に関する基礎的な問題になります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

等差数列の初項を $a$ 、公差を $d$ とすると、この数列の一般項は

$a_{n}=a+(n-1)d$

となります。この問題については条件 $a_{4}=1,\ a_{6}=-5$ がありますので、この条件を等差数列の一般項に代入すると

$a+3d=1,\ a+5d=-5$

という二つの式が立てられます。これらの式を連立させた方程式を解くと、初項と公差が求められますので、数列の一般項も求めることができます。

数列の問題の後半は数列の第 $n$ 項までの和を求めることがほとんどです。

したがって、数列の問題を全クリするには和の公式を覚えておくことが必須になります。

等差数列の一般項は、 $n$ の1次式で表されていますので

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$

の公式さえ覚えていれば充分かと思います。ド忘れしてしまった場合は「反対から足す」という操作を思い出してみると公式が導けます。以下のように考えます。 $S_{n}=1+2+\cdots +n$ とすると

$S_{n}=1+2+3+\cdots +(n-1)+n$

$S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1$

この2式を足すと、右辺は $n$ 個の $n+1$ の和なので $2S_{n}=n(n+1)$ となります。

最後の「ソ」から「タチ」の値は数列の項を順番に書き並べても求めることができますので、簡単に求めることができます。

条件が与えられた数列の一般項を求めて、その数列の和を求めるという流れの問題は数多く見られます。

ですので、このような類の問題はマスターしておきたい問題です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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