マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220525

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は福岡県・福岡市・北九州市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数を用いる漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式を見ると嫌な気がしますが、とりあえず $\sqrt{\ }$ が邪魔ですので両辺を2乗してみます。すると

$\displaystyle (a_{n+2})^{2}=\frac{4(a_{n+1})^{5}}{(a_{n})^{3}}$

という関係式になります。このままでは扱いづらいです。

そこで、この式の両辺を $(a_{n+1})^{2}$ で割ってみます。

$\displaystyle \left( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\right) ^{2}=4\left( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right) ^{3}$

という関係式になりますが、見通しを良くするために $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ とおくと

$(b_{n+1})^{2}=4(b_{n})^{3}$

となります。両辺で指数がずれているので、この場合は両辺に同じ底の対数をとります。

ここでは初期条件の $a_{1}=1,a_{2}=2$ と係数 $4$ に注目して、底が $2$ の対数を両辺にとります。そうすると

$2\log_{2}{b_{n+1}}=3\log_{2}{b_{n}}+2$

という関係式が出ますが、見通しをよくするために $c_{n}=/log_{2}{b_{n}}$ とおくと

$2c_{n+1}=3c_{n}+2$

となります。

これは2項間漸化式になりますので、特性方程式 $2x=3x+2$ となる実数 $x$ を見つけます。

この方程式の解は $x=-2$ ですので、漸化式は

$\displaystyle c_{n+1}+2=\frac{3}{2}(c_{n}+2)$

と変形できます。

これは数列 $\{ c_{n}+2\}$ が初項 $\displaystyle c_{1}+2=\log_{2}{2}+2=3$ 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列であることを表していますので

$\displaystyle c_{n}=3^{n}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}-2$

となります。置き換えたものを元に戻していくと

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2^{c_{n}}\ \cdots (1)$

のようになりますが、ここから $a_{n}$ を求めるには

$\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{1}}\times \frac{a_{3}}{a_{2}}\times \frac{a_{4}}{a_{3}}\times \cdots \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

を計算する必要がありますが、式(1)から $\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{n-1}c_{k}$ を計算すればオールクリアとなります。

いかがだったでしょうか？

このタイプの漸化式は上位の大学の入試で出題されそうです。（どこかでみた気がします）

大学入試で出題される場合は学習指導要領から逸脱する可能性があるので誘導がついていることがあります。

このような問題で誘導がついていなければ難易度がグッと上がりそうですね。解き方を覚えないといけないかもです。

　

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