マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

島根県教員採用試験の問題ver.20220717

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は島根県教員採用試験の問題です。

今回は令和3年実施の島根県教員採用試験の高等学校受験者用の第5問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

数学Ⅲの内容を含みます。入試でもよく見られる微分積分の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)極値を求めるためには導関数が必要となりますので、それをまずは求めます。

$f^{\prime }(x)=(-x^{2}+4)e^{x}$ ですので、関数 $f(x)=-(x^{2}-2x-2)e^{x}$ の増減表は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-2&\cdots &2&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&-&0&+&0&-\\ \hline f(x)&\searrow &-6e^{-2}&\nearrow &2e^{2}&\searrow \\ \hline \end{array}$

したがって、関数 $f(x)$ は $x=-2$ のとき極小値 $-6e^{-2}$ 、 $x=2$ のとき極大値 $2e^{2}$ をとります。

(2)曲線 $y=f(x)(=-(x^{2}-2x-2)e^{x})$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線の方程式は次のようになります。

$y=(-t^{2}+4)e^{t}(x-t)-(t^{2}-2t-2)e^{t}$

この直線が原点（ $(x,y)=(0,0)$ ）を通りますので、次の方程式が成り立ちます。

$(-t^2+4)e^{t}(-t)-(t^{2}-2t-2)e^{t}=0$

この式を整理すると $(t-1)(t^{2}-2)e^{t}=0$ となりますが、このうち接点の $x$ 座標が整数であるものは $t=1$ のもののみになります。

(3) $f(0)=2\geqq 0$ で、曲線 $y=f(x)$ と直線 $l$ との交点は(2)より $x=1$ のところで交わります。

したがって、求める面積は直線 $l$ の方程式が $y=3ex$ ですので

$\displaystyle \int_{0}^{1}\left\{ -(x^{2}-2x-2)e^{x}-3ex\right\} dx=\frac{4-e}{2}$

となります。

いかがだったでしょうか？

そこまで難しい問題ではないので、大学受験の方にも良い練習問題になるかと思います。

一番難しいところは積分の計算のところでしょうか。

積分計算は技術が必要なので、計算ミスしないように練習をしておかないといけなさそうです。

　

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