東京女子大学の問題【2022年2日目第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部2日目第2問です。

難易度は☆☆☆です。

定積分と導関数を用いて整式を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

この問題は係数にある定積分の値と極値を取ることをヒントにして $f(x)$ を求める問題です。

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt=c$ とおくと

$c=\left[ x^{4}+2cx^{3}+ax^{2}+bx\right]_{0}^{1}$

$=1+2c+a+b$

したがって、 $a+b+c=1$ …①となります。

$f(x)$ が $x=-1,\ 1$ で極値をとることから、この関数の導関数を求めると $f^{\prime }(x)=12x^{2}+12cx+2a$ となります。

また、 $f^{\prime }(-1)=0$ かつ $f^{\prime }(1)=0$ であることから

$\left\{ \begin{array}{ccc} 2a+12c+12&=&0 \\ 2a-12c+12&=&0\end{array}\right.$

をみたします。この連立方程式と①から $a=-6,\ b=5,\ c=0$ となります。

したがって、 $f(x)=4x^{3}-12x+5$ となります。

係数に定積分があるときはその定積分の値を文字に置き換えて同じ定積分をとることが有効です。

初見ではおそらく解き方が思い浮かばないと思います。

なので、一度はこの類の問題を解いた方がいいかもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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