マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数と式と整数に関する問題ver.20220502

整数の性質教員採用試験の過去問

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今週は数と式・整数の性質に関する教員採用試験の過去問からの出題です。

今回は埼玉県・さいたま市教員採用試験で出題された過去問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対称式をうまく使わないといけない問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2式の条件式を使って $(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求めていきます。

$x+y+z=3$ から $x+y=3-z,\ y+z=3-x,\ z+x=3-y$ となりますので、

$(x+y)(y+z)(z+x)=3(xy+yz+zx)-xyz$

となります。一方、 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ の左辺を変形すると

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$

となりますので、 $x+y+z=3$ を代入すると

$27-9(xy+yz+zx)+3xyz=3$

になりますが、移項して両辺を3で割ることにより

$3(xy+yz+zx)-3xyz=8$

となります。したがって $(x+y)(y+z)(z+x)=8$ です。

前半は後半のヒントになっています。

最初に与えられた2式の条件と、先ほど求めた $(x+y)(y+z)(z+x)=8\cdots ③$ という条件を使って整数の組 $(x,y,z)$ を求めます。

$(x+y)+(y+z)+(z+x)=2(x+y+z)=2\times 3=6\cdots ④$

となります。

普通であれば $(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+z)$ の値を求めて3次方程式を立てて $x,y,z$ の値を求めるという方針が見えてくると思いますが、この場合、 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ の値を求めなければいけません。

しかし、今の時点で持っている条件からでは値が求められません。

そこで $x,y,z$ すべてが整数であることを用いります。

$x+y,\ y+z,\ z+x$ が整数であることと③と④から、答えの候補は

$(x+y,y+z,z+x)=(2,2,2),\ (8,-1,-1),\ (-1,8,-1),\ (-1,-1,8)$

の4つに絞られます。これにより、4つの連立方程式が立ちますので、それぞれ解くと順に

$(x,y,z)=(1,1,1),\ (4,4,-5),\ (-5,4,4),\ (4,-5,4)$

となります。

実際の問題と少し変えてありますが、実際の問題はこの4つを解答して正解となります。

いかがだったでしょうか？

教員採用試験の問題は大学入試で出るような問題が7割くらいと教員採用試験特有の問題が3割くらい出題されている傾向にあるようです。

大学入試で出てくような問題の難易度は、聞いた話だと日東駒専・産近甲龍くらいのレベルだそうですが、それならMARCH・関関同立くらいのレベルが解ければ心配無さそうです。

ということは、教員採用試験の問題を解くことも大学入試の対策になる⁉ような気がします。

実力養成になりそうなので大学受験生の方も教員採用試験の問題にぜひチャレンジしてほしいと思います。

　

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