ベクトルの問題ver.20220501 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は代ゼミ高2模試2012年の過去問です。

今回は第2回で出題されたベクトルの問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

扱っている図形が平行四辺形ですので、解きやすいかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図形の問題は図を描くことから始めます。図を描くと次のようになります。

手書きで見づらくてすいません。

平行四辺形の性質は

・2組の向かい合う辺がそれぞれ平行

・2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい

・2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい

・2本の対角線はそれぞれの中点で交わる

というものがありますが、このうちの必要なものを使います。

$OC//AB$ ですので、 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\vec{q}$ となります。

したがって、 $\overrightarrow{OB}=\vec{p}+\vec{q}$ となります。

また、点Dは辺ABを $2:3$ に内分するので $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{2+3}$ となります。これを $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表せば半分以上はクリアしたものです。

あとは $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}$ であることを用いてベクトル $\overrightarrow{AF}$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ で表すことができれば、最後の内積の値を求めることができます。