マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題ver.20220705

三角関数教員採用試験の過去問

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今週は徳島県教員採用試験＋神戸市教員採用試験の問題です。

今回は徳島県教員採用試験で出題された三角関数の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の基本的な問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\sin{2\theta }$ を $x$ を使ってどのように表すかがポイントになります。

倍角の公式より $\sin{2\theta }=2\sin{\theta }\cos{\theta }$ ですので、 $2\sin{\theta }\cos{\theta }$ を $x$ で表すことができればいけそうです。

おき方から $x=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ ですので、この両辺を2乗すると

$x^{2}=\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }$

となります。さらに、三角関数の相互関係を用いると

$x^{2}=1+2\sin{\theta }\cos{\theta }$

となりますので、 $\displaystyle \sin{2\theta }=x^{2}-1$ というように $\sin{2\theta }$ を $x$ を用いて表すことができました。

これを元の関数の式に代入すると

$y=x^{2}-2x-2$

となります。

次に気になってくるのが $x$ のとりうる値の範囲です。

三角関数の合成を用いると

$\displaystyle x=\sqrt{2}\sin{(\theta +\frac{\pi }{4})}$

となりますが、 $0\leqq \theta ＜2\pi$ のとき $\displaystyle -1\leqq \sin{(\theta +\frac{\pi }{4})}\leqq 1$ ですので、 $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ ということになります。

$y$ は $x$ の2次関数で表されていますので、平方完成をして最大値と最小値を求めます。

もちろん、導関数を求め、関数の増減を調べて最大値と最小値を出すのもアリです。

いかがだったでしょうか？

今回は教員採用試験の過去問ですが、大学入試でも頻出の問題です。

この問題1つで三角関数の後半の部分は網羅されているのではないでしょうか？かなり良い問題かと思います。

定期テストでも狙われそうな問題ですね。

　

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