三角関数の問題【青チャート数学Ⅱ総合演習問題】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2017年度実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は問題の選定の都合上、青チャート数学Ⅱの総合演習問題からの問題です。

今回の問題の原文

$\displaystyle \sin^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }=\frac{11}{16}$ のとき、 $\sin{\theta }+\cos{\theta }$ の値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\sin{\theta }+\cos{\theta }=u$ とおいて $\sin{\theta }\cos{\theta }$ を $u$ で表す

三角関数には $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ という隠れた条件が常に存在しています。これを使って $\sin{\theta }\cos{\theta }$ を $u$ で表します。

$u^{2}=\sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }$

ですので隠れた条件を用いると $\displaystyle \sin{\theta }\cos{\theta }=\frac{u^{2}-1}{2}$ となります。

$\cos^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }$ を $u$ で表す

因数分解の公式

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

を用いると $\displaystyle \sin^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }=u\left( 1-\frac{u^{2}-1}{2}\right)$ となります。

与えられた数値を代入して $u$ の方程式を解く

$\displaystyle \sin^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }=\frac{11}{16}$ であることから

$\displaystyle u\left( 1-\frac{u^{2}-1}{2}\right) =\frac{11}{16}$

となります。この方程式を解いていくと

$\begin{eqnarray*} u-\frac{u^{3}}{2}+\frac{1}{2}u&=&\frac{11}{16}\\ -8u^{3}+24u-11&=&0\\ 8u^{3}-24u+11&=&0\\ (2u-1)(4u^{2}+2u-11)&=&0\end{eqnarray*}$

よって $\displaystyle u=\frac{1}{2},\ \frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{4}$ となります。

$u$ の取り得る値の範囲を確認する

$\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\sqrt{2}\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }$ ですので $-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$ となります。したがって、先程解いた方程式の解のうち、この範囲に入っているものは $\displaystyle u=\frac{1}{2}$ のみとなりますので、この値が求めるべき $u$ の値となります。