マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

2次関数の問題【ベーシックスタイル29】

2次関数大学入試対策

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2022年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題ですが、問題の選定の都合上別の問題です。

今回はベーシックスタイルから2次関数の問題です。

今回の問題の原文（記述式）

(1) $x$ の2次関数 $y=x^{2}-mx+m$ （ $m$ は実数の定数）の最小値を $k$ とする。このとき、 $k$ の最大値を求めよ。

(2)実数 $x,\ y$ が $x^{2}+y^{2}=4$ を満たしているとき、 $4x+2y^{2}$ の最大値と最小値を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の問題について

この問題の解く方針は

① $x$ の2次関数の最小値を求める。（それを $k$ とおく）

② $k$ の最大値を求める。

という手順です。2次関数の基本は「平方完成」です。まずは $y$ に対して行います。そうすると

$\displaystyle y=\left( x-\frac{m}{2}\right) ^{2}-\frac{m^{2}}{4}+m$

となります。この2次関数は $x$ が実数全体を動くとき、 $\displaystyle x=\frac{m}{2}$ のとき最小値 $\displaystyle -\frac{m^{2}}{4}+m$ をとります。したがって $k=-\frac{m^{2}}{4}+m$ となります。この $k$ は $m$ の2次関数になりますので、 $k$ を平方完成して式変形すると

$\displaystyle k=-\frac{1$ {4}(m-2)^{2}+1]

となります。よって $m$ は実数の値をとりますので、 $k$ は $m=2$ のとき最大値 $1$ をとります。

(2)の問題について

条件式 $x^{2}+y^{2}=4$ と $x,\ y$ の関数 $4x+2y^{2}$ があります。このタイプの問題は

①関数の方の式を条件式を使って1つの変数で表す。

②①で表した変数の取り得る値の範囲を求める。

③関数の最大値と最小値を求める。

という手順で解いていきます。条件式と関数の式を見比べると、共通して $y^{2}$ がありますので、条件式の方を $y^{2$ =4-x^{2}]と変形しておきます。そうすると関数は

$-2x^{2}+4x+8$

と $x$ だけの関数で表すことができます。 $y$ だけの関数で表すことも可能ですが、無理関数（根号を含む関数）を扱うことになりますので避けたいところです。

$y^{2}=4-x^{2}$ と変形できますが、 $y$ は実数ですので $y^{2}\geqq 0$ です。したがって $4-x^{2}\geqq 0$ ということになります。この2次不等式を解くと $-2\leqq x\leqq 2$ となりますが、これが $x$ の取り得る値の範囲です。この範囲内で $-2x^{2}+4x+8$ の最大値と最小値を求めます。

$f(x)=-2x^{2}+4x+8$ とおきます。これは $x$ についての2次関数ですので、平方完成をします。そうすると

$f(x)=-2(x-1)^{2}+10$

となります。 $-2\leqq x\leqq 2$ ですので、 $f(x)$ は $x=1$ のとき最大値 $10$ 、 $x=-2$ のとき最小値 $-8$ を取ることがわかります。解答として出すときは $y$ の値も求めておかなければなりませんので、それぞれの場合の $y$ の値を求めておいて、解答は

$(x,y)=(1,\pm \sqrt{3})$ のとき最大値 $10$ 、 $(x,y)=(-2,0)$ のとき最小値 $-8$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

入試でよく出る2次関数の問題でした。

2次関数の問題は「平方完成」が解くカギになりますので、必ずできるようにはしておきたいところです。

(2)の問題のように、変数が2つあるときはなんとか変数の種類を減らせないかということを考えることがポイントです。

　

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