マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220725

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今週は東京未来大学2017年の問題です。

今回は1日目第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次不等式と2次関数の基礎的な問題です。この年から問題が記述式に変更されています。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)2次不等式の解き方は、2次の係数を正数にするのが基本です。

その次に =0とした2次方程式を解きますが、因数分解できる場合は次のようにそのまま進めても良いです。

 -3x^{2}+4x+4>0

 3x^{2}-4x-4<0

 (3x+2)(x-2)<0

 \displaystyle -\frac{2}{3}<x<2

(2)放物線 y=x^{2}+3x+1と直線 y=2x-kの交点の個数は、 x2次方程式

 x^{2}+3x+1=2x-k…①

の実数解の個数と一致します。

放物線と直線が接する状況は、2次方程式の解の個数が1個だけのときなので、①の式を整理すると

 x^{2}+x+1+k=0…②

となりますので、方程式②の判別式を Dとすると

 D=-4k-3

となります。2次方程式の実数解が1個になる条件は D=0です。

このときの kの値は \displaystyle -\frac{3}{4}ですので、この値を②の式に代入して xの値と yの値を求めます。

(3)元の2次関数を平方完成すると y=a(x-2)^{2}-4a+bとなりますので、この関数の表す放物線の頂点は (2,-4a+b)です。

この放物線を x軸方向に4、 y軸方向に-1だけ平行移動させると頂点が (6,5)となることから、頂点の y座標に注目すると -4a+b-1=5という条件が導かれます。

この式を bについて解いて b=4a+6となります。

いかがだったでしょうか?

この年から選択式から記述式になってヤマカンが使えなくなりました。

ですが、記述で解くことができればヤマカンを使わなくても100%正解に行き着くはずです。

マーク式の問題を解くにしてもキチンと記述で解けるようにしておけば数学の力は付くかと思います。ガンバッテ!

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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