マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題ver.20220829

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は東京女子大学2016年の問題です。

今回は文系学部1日目の第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図形に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)3辺の長さが等差数列をなすので、初項を a、公差を d>0とすると a,\ a+d,\ a+2dが3辺の長さになります。

考えている三角形が直角三角形であるので、三平方の定理より

 a^{2}+(a+d)^{2}=(a+2d)^{2}\ \cdots ①

が成り立ちます。さらに、面積が 24であるので

 a(a+d)=48\ \cdots ②

が成り立ちます。

式①を整理すると

 (a+d)(a-3d)=0

となりますが、 a>0かつ d>0であることから a=3dとなります。

これを式②に代入すると d^{2}=4であることが得られるので、 d>0であることから d=2となります。

したがって、 a=6となるので求める3辺の長さは 6,\ 8,\ 10となります。

(2) \cos{A}の値が与えられているので、三角関数の相互関係から

 \displaystyle \sin{A}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}

 \triangle ABCに正弦定理を用いると \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}}=\frac{AC}{\sin{B}}であるので \displaystyle \sin{B}=\frac{\sqrt{15}}{5}です。

あとで使いますので \angle Bが鈍角であることに注意して \displaystyle \cos{B}=-\frac{\sqrt{10}}{5}を求めておきます。

 C=180^{\circ }-(A+B)ですので \sin{C}=\sin{(A+B)}となります。

これは三角関数の加法定理より

 \displaystyle \sin{C}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\frac{-3\sqrt{10}+4\sqrt{15}}{25}

と求めることができます。

三角形の面積については、 \displaystyle \frac{1}{2}\times BC\times AC\times \sin{C}を使って求めると

 \displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{5}\times \frac{-3\sqrt{10}+4\sqrt{15}}{25}=\frac{12-3\sqrt{6}}{10}

となります。

いかがだったでしょうか?

先週まで扱っていた大学の過去問よりレベルが高いものが多いです。

1問に複数の単元の知識を必要とする問題が増えています。

レベルの高い大学になるとそのような問題が多くなりますので入試問題をたくさん解いて対策を立てておく必要がありそうです。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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