東京都立大学の問題【2022年前期日程第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2022年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題の原文

ディスプレイに1秒ごとにAかBのどちらか1つの文字を表示するプログラムがあり、1秒ごとに次の操作を行うように設定されている。

・Aが表示されているとき、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ の確率でBに表示を切り替える。

・Aが表示されているとき、確率 $\displaystyle \frac{1}{2}$ の確率でAをそのまま表示する。

・Bが表示されているとき、確率 $\displaystyle \frac{1}{4}$ の確率でAに表示を切り替える。

・Bが表示されているとき、確率 $\displaystyle \frac{3}{4}$ の確率でBをそのまま表示する。

Aが表示されてから $n$ 秒後にAが表示される確率を $a_{n}$ とし、Aが表示されてから $n$ 秒後にBが表示する確率を $b_{n}$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1) $b_{3}$ を求めなさい。

(2) $c_{n}=a_{n}+b_{n},\ d_{n}=2a_{n}-b_{n}$ とするとき、 $c_{n+1},\ d_{n+1}$ を $c_{n},\ d_{n}$ を用いて表しなさい。

(3) $a_{n}$ を $n$ を用いて表しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率に関する漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

問題文の条件から、次の漸化式が導かれます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a_{1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\\ b_{1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\end{array}\right. ,\ \left\{ \begin{array}{ccc} a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n}\\ b_{n+1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n}\end{array}\right.$

この漸化式を用いて計算をしていくと $\displaystyle b_{3}=\frac{21}{32}$ となります。

$c_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n}$

$=a_{n}+b_{n}=c_{n}$

$d_{n+1}=2a_{n+1}-b_{n+1}$

$\displaystyle =2(\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n})-(\frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n})$

$\displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}-\frac{1}{4}b_{n}$

$\displaystyle =\frac{1}{4}(2a_{n}-b_{n})=\frac{1}{4}d_{n}$

となりますので、数列 $\{ c_{n}\}$ は初項 $c_{1}=1$ から $c_{n}=1$ 、数列 $\{ d_{n}\}$ は初項 $\displaystyle d_{1}=\frac{1}{2}$ 、公比 $\displaystyle \frac{1}{4}$ の等比数列ですので $\displaystyle d_{n}=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}$ となります。

数列 $\{ c_{n}\}$ と $\{ d_{n}\}$ のおき方から $c_{n}+d_{n}=3a_{n}$ となりますので

$\begin{eqnarray*}a_{n}&=&\frac{1}{3}(c_{n}+d_{n})\\ &=&\frac{1}{3}\left\{ 1+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}\right\} \\ &=&\frac{1}{6}\left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}+\frac{1}{3}\end{eqnarray*}$