マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都立大学の問題【2022年前期日程第2問】

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今週は東京都立大学2021年・2022年の問題です。

今回は2022年文系学部前期日程第2問です。

今回の問題の原文

ディスプレイに1秒ごとにAかBのどちらか1つの文字を表示するプログラムがあり、1秒ごとに次の操作を行うように設定されている。

・Aが表示されているとき、確率 \displaystyle \frac{1}{2}の確率でBに表示を切り替える。

・Aが表示されているとき、確率 \displaystyle \frac{1}{2}の確率でAをそのまま表示する。

・Bが表示されているとき、確率 \displaystyle \frac{1}{4}の確率でAに表示を切り替える。

・Bが表示されているとき、確率 \displaystyle \frac{3}{4}の確率でBをそのまま表示する。

Aが表示されてから n秒後にAが表示される確率を a_{n}とし、Aが表示されてから n秒後にBが表示する確率を b_{n}とする。以下の問いに答えなさい。

(1) b_{3}を求めなさい。

(2) c_{n}=a_{n}+b_{n},\ d_{n}=2a_{n}-b_{n}とするとき、 c_{n+1},\ d_{n+1} c_{n},\ d_{n}を用いて表しなさい。

(3) a_{n} nを用いて表しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

確率に関する漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

問題文の条件から、次の漸化式が導かれます。

 \left\{ \begin{array}{ccc} a_{1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\\ b_{1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\end{array}\right. ,\ \left\{ \begin{array}{ccc} a_{n+1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n}\\ b_{n+1}&=&\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n}\end{array}\right.

この漸化式を用いて計算をしていくと \displaystyle b_{3}=\frac{21}{32}となります。

 c_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}

 \displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n}

 =a_{n}+b_{n}=c_{n}

 d_{n+1}=2a_{n+1}-b_{n+1}

 \displaystyle =2(\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{4}b_{n})-(\frac{1}{2}a_{n}+\frac{3}{4}b_{n})

 \displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}-\frac{1}{4}b_{n}

 \displaystyle =\frac{1}{4}(2a_{n}-b_{n})=\frac{1}{4}d_{n}

となりますので、数列 \{ c_{n}\}は初項 c_{1}=1から c_{n}=1、数列 \{ d_{n}\}は初項 \displaystyle d_{1}=\frac{1}{2}、公比 \displaystyle \frac{1}{4}等比数列ですので \displaystyle d_{n}=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}となります。

数列 \{ c_{n}\}  \{ d_{n}\}のおき方から c_{n}+d_{n}=3a_{n}となりますので

 \begin{eqnarray*}a_{n}&=&\frac{1}{3}(c_{n}+d_{n})\\ &=&\frac{1}{3}\left\{ 1+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}\right\} \\ &=&\frac{1}{6}\left( \frac{1}{4}\right) ^{n-1}+\frac{1}{3}\end{eqnarray*}

となります。

いかがだったでしょうか?

確率の問題は試行のルールを理解すれば解くことができる場合がほとんどです。

今回の場合は「Aが表示された後はどうなるか」ということと「Bが表示された後はどうなるか」で場合分けをして考えるとやりやすいかと思います。

そのあと、 n+1}秒後と[tex: n秒後の関係を考えます。

あとは問題に誘導が付いていますので、その通りに解いていけば等差数列か等比数列に話を持っていけます。

 

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