マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

図形の問題ver.20220522

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問中学生でも解ける教員採用試験の問題

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。

今回は神戸市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

中学の知識だけで解けるかもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ADB$ と $\triangle BCA$ が合同であることの証明は以下のようになります。

$\triangle ADB$ と $\triangle BCA$ において、

線分 $AB$ は円 $O$ の直径であるので $\angle ADB=\angle BCA=90^{\circ }$

$DC//AB$ で、平行線の錯角は等しいので $\angle BCD=\angle DBA$

円周角の定理より $\angle BDC=\angle CAB$

したがって、 $\angle DBA=\angle CAB$

共通な辺なので $AB=BA$

直角三角形の斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しいので $\triangle ADB\equiv \triangle BCA$

今回は中学の知識で解説をしていこうと思います。

$\triangle ABC$ は $\angle BCA=90^{\circ },\ \angle CBA=60^{\circ }$ の直角三角形ですので、辺 $AB$ と辺 $BC$ の長さの比は $AB:BC=2:1$ となります。

したがって、 $AB=4$ であることから、 $BC=2$ であることがわかります。

$\triangle ACO$ に注目すると、この三角形は $OA=OC$ の二等辺三角形で $\angle CAB=30^{\circ }$ ですので、 $\angle COB=60^{\circ }$ です。

また、直線 $CP$ は円 $O$ の点 $C$ における接線なので $\angle PCO=90^{\circ }$ です。

よって、 $OC:OP:CP=1:2:\sqrt{3}$ であることがわかります。

$OC$ は円 $O$ の半径で、その長さは2ですので、 $OP=4,\ CP=2\sqrt{3}$ となります。

$OA=2$ から $AP=OP+OA=6$ ですので、 $AP:PC=6:2\sqrt{3}=\sqrt{3}:1$ となります。

$\triangle PCB$ の面積については、点 $C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の長さ $h$ は、ここまで分かったことを踏まえて $\triangle COP$ に注目すると

$\angle COP=60^{\circ },\ \angle PCO=90^{\circ },\ \angle OPC=60^{\circ }$

ですので、 $h=\sqrt{3}$ となります。

よって $\triangle PCB$ の面積を $S$ とすると、 $BP=OP-OB=4-2=2$ が底辺の長さとなりますので

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times 2=\sqrt{3}$

となります。

いかがだったでしょうか？

数学の教員になるためには数学の知識が全体的に必要だということでしょうか、高校入試で出題されるような問題も教員採用試験では出題されているようです。

今回はあえて接弦定理や三角関数のような高校で習うような知識を避けて解説を試みました。

教える対象者に合わせて解き方を複数用意しろということでしょうか。そのように考えるとなかなか難しいです。

　

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