マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題ver.20220708

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は徳島県教員採用試験＋神戸市教員採用試験の問題です。

今回は徳島県教員採用試験で出題された微分積分の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

一部数学Ⅲの内容を含みます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

求める立体の体積 $V$ は、この立体を $x=t$ で切った切り口の面積を $S(t)$ とすると

$\displaystyle V=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} S(t)dt$

で求められることを用います。

$R(x,0,0)$ とすると、立体を $x=t$ で切った切り口は $\triangle PQR$ になります。

この面積さえ求められれば、あとは積分するだけになります。

この三角形は $PQ^{2}=QR^{2}+RP^{2}$ が成り立っていますので、 $\angle QRP=90^{\circ }$ の直角三角形です。

したがって、 $\triangle PQR$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\times QR\times RP$ で求めることができます。

この面積を $x$ で表したものを $S(x)$ とすると、 $\displaystyle V=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}S(x)dx$ です。

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}(1-\sin{x})\cos^{2}{x}$ ですので、

$\displaystyle V=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\cos^{2}{x}-\sin{x}\cos^{2}{x})dx$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( \frac{1+\cos{2x}}{2}\right) dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos^{2}{x}\sin{x}dx$

$\displaystyle =\frac{1}{4}［x+\frac{1}{2}\sin{2x}］_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{6}［\cos^{3}{x}］_{0}^{\frac{\pi }{2}}$

$\displaystyle =\frac{\pi }{8}-\frac{1}{6}$

となります。

いかがだったでしょうか？

参考になる立体図が描ければわかりやすかったのですが、描き方がわからなかったので断念しました…。

平面図はGeoGebraを使って描いていますが、空間図形の使い方の勉強をしないといけません(>_<)

空間図形が描けるようになったら参考図を入れていくようにします。ｽﾐﾏｾﾝ…

　

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