マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

面積の問題ver.20220616

微分積分図形と方程式教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された総合問題です。

今回は愛媛県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

微分積分と図形の知識が必要ですが、そこまで難しくはありません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

下の図は与えられている関数のグラフ(黒色の線)と(3)の点 $A,B$ を通る円(赤色の線)になります。

直線 $l$ は点 $A(-2,-4)$ を通る比例のグラフですので $y=2x$ です。

点 $B$ は放物線 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$ と直線 $y=2x$ との交点で原点ではないもの尼なりますので $B(4,8)$ となります。

したがって、放物線 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}$ と直線 $y=2x$ とで囲まれる部分の面積は

$\displaystyle \int_{0}^{4}\left( 2x-\frac{1}{2}x^{2}\right) dx=\frac{16}{3}$

になります。

2点 $A,B$ を通る円は、直径が線分 $AB$ となりますので、線分 $AB$ の中点が円の中心となります。

したがって、赤色の円の方程式は

$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=45$

になります。この円と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、 $x$ の方程式

$(x-1)^{2}+(0-2)^{2}=45$

の実数解になりますが、この方程式を整理すると

$x^{2}-2x-40=0$

となります。この2次方程式の判別式は正になりますので、異なる二つの実数解を持ちます。

この2次方程式の解を $\alpha ,\beta$ とすると、2次方程式の解と係数の関係から

$\alpha \beta =-40$

となりますが、この絶対値が $OP\times OQ$ の値になります。

いかがだったでしょうか？

見た目は中学数学っぽいですが、中身は高校数学でした。

数学Ⅱの知識がフルに必要です。

上手く知識を引っ張り出せるかが重要ですね。

　

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