神戸市教員採用試験の問題ver.20220709 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は徳島県教員採用試験＋神戸市教員採用試験の問題です。

今回は令和2年実施の神戸市教員採用試験で出題された図形と方程式の問題です。

難易度は☆☆☆です。

線形計画法の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

領域 $A$ は、下の図の赤色で塗られた部分で境界線上の点を含みます。

$2x+y=k$ とおくと、この方程式は直線になります。

$k$ の値が最大値もしくは最小値をとるような状況は次のようなものだと考えられます。

・直線 $2x+y=k$ が円 $x^{2}+y^{2}=10$ と接している

・直線 $2x+y=k$ が円 $x^{2}+y^{2}=10$ と直線 $x+y=0$ の交点を通る

この状況から $k$ の値の候補を絞っていきますが、前者の場合は領域 $A$ の点を通っていることをチェックします。

・直線 $2x+y=k$ が円 $x^{2}+y^{2}=10$ に接する

直線の式を変形すると $y=-2x+k$ となります。

この式を円の方の方程式に代入すると、 $x$ についての2次方程式になりますので、その方程式が重解を持つような $k$ の値を求めます。

このとき、 $k$ の値が2つ出てきますが、そのときの $x$ と $y$ の値を求めて、 $(x,y)$ が領域 $A$ の点であるかどうかをチェックします。

領域 $A$ の点であれば候補に入れ、そうでなければ除外します。

・直線 $2x+y=k$ が円 $x^{2}+y^{2}=10$ と直線 $x+y=0$ の交点を通る

求めるものは円 $x^{2}+y^{2}=10$ と直線 $x+y=0$ の交点です。

図から、異なる2点で交わりますので、実数解は2つ出るはずです。

また、この点は領域 $A$ 内の点であることは間違いありませんので、先ほどのチェックは必要ありません。

$x$ と $y$ は具体的な数値が求まりますので、その数値を $2x+y$ の方に代入して $k$ の値を求めます。

候補が出揃ったら、大小比較をして最も小さいものを最小値、最も大きいものを最大値として答えを出します。

私が受験生の頃はあまりみたことがない問題でしたが、ここ最近の問題ではよく出る問題のようです。

最初は領域が曲線で囲まれているものだったので戸惑いました。

ですが、解き方を知ると怖くはないですね。経験が必要な問題といったところでしょうか。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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