図形の問題ver.20220521 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。

今回は山口県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

空間座標が与えられています。ベクトルを使っても使わなくても解けます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)実際の問題では2通りの解き方が要求されていますので、それぞれで解説をしていこうと思います。

①余弦定理を用いる方法

$AB,BC,CA$ の3辺の長さを求めます。

これらの長さは座標から求めることができますので、2点間の距離の公式を使うと

$AB=\sqrt{5},\ BC=\sqrt{17},\ CA=2\sqrt{5}$

となります。ここで $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると、次のようになります。

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{AB^{2}+CA^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times CA}=\frac{5+20-17}{2\times 2\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

②ベクトルを用いる方法

ベクトルを用いて余弦の値を求めるときは、ベクトルの内積を用います。

座標が与えられている場合は、ベクトルは成分表示で表します。

$\overrightarrow{AB}=(-2,-1,0),\ \overrightarrow{AC}=(-2,0,4)$

となりますので、それぞれのベクトルの大きさとこの2つのベクトルの内積は

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5},\ |\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{5},\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4$

ですので、ベクトルを用いた場合の $\cos{\theta }$ の求め方は

$\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$