マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

図形の問題ver.20220520

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は教員採用試験でしゅつだいされた図形の問題です。問題的には空間図形です。

今回は山口県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

線分APと底面BCDが垂直であることがポイントです。このあたりが易しいと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

大学入試でもよく出る四面体の問題です。

実際の(1)の問題が「 \triangle BCDにおいて、 \sin{/angle BCD}の値を求めよ」となっていますが、この誘導の通りに解いていけば難なくクリアができます。

あとは問題文の条件をおさえておきます。

・点 P \triangle BCDの外接円の中心(外心であること)

・線分 AP \triangle BCDが垂直に交わる

この2点がかなり重要です。

なぜかというと、 \triangle BCDに正弦定理を使って外接円の半径が求まれば四面体 ABCDの体積が求められるからです。

問題の都合上、外接円の半径の値は有理化していますが計算過程で使う場合はむしろ有理化しないほうが計算が楽になることがあります。

 APの長さを求める過程では三平方の定理を使いますので、外接円の半径の値は有理化しないほうが計算が楽です。

 APの長さは、三平方の定理より AP^{2}=AB^{2}-R^{2}です。

外接円の半径を求める際に \sin{\angle CBD}を使いましたが、 \triangle BCDの面積を出す際も使えます。

ここまでで、四面体の底面積と高さが出ましたので体積を求めることができます。

いかがだったでしょうか?

条件をしっかり把握していれば難なく解ける問題でした。

試験で出ればオイシイ問題ですが、こういう問題が落としてはいけない問題と言うものでしょう。

簡単な問題ほど油断大敵です。

 

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