首都大学東京の問題【2008年前期日程第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は首都大学東京2007年・2008年の問題です。

今回は2008年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

正四面体に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

四面体 $OABC$ は正四面体ですので、面は全て正三角形です。

線分 $OM$ と線分 $AM$ はそれぞれ $\triangle OBC$ 、 $\triangle ABC$ の中線ですが、正三角形の重心と外心が一致しますので垂直二等分線でもあります。

したがって、 $OM\perp BC$ かつ $AM\perp BC$ となります。

よって、点 $B$ から $\triangle OAM$ を含む平面に下ろした垂線の長さは $BM$ の長さに等しくなりますので、その長さは $\displaystyle \frac{1}{2}$ となります。

$OM$ の長さは $\displaystyle \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ですので、 $OD=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}t^{2}$ です。

また、 $OE=1-t$ であり、 $\triangle OAM$ 余弦定理を用いると $\displaystyle \cos{\angle AOM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ですので三角関数の相互関係より $\displaystyle \sin{\angle AOM}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ となります。

したがって、 $\triangle OAM$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times (1-t)\times \frac{\sqrt{3}}{2}t^{2}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}(-t^{3}+t^{2})$

となります。

四面体 $BODE$ の体積は $\displaystyle \frac{1}{3}\times \triangle OED\times BM$ で求められますので、それを計算すると $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{24}(-t^{3}+t^{2})$ となります。

四面体 $BODE$ の体積を $V(t)$ とおくと、 $V(t)$ は $t$ の3次関数ですので最大値は導関数を求めて増減を調べます。

$\displaystyle \frac{dV}{dt}=-\frac{\sqrt{2}}{24}(3t-2)$ ですので、 $V(t)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t&0&\cdots &\displaystyle \frac{2}{3}&\cdots &1\\ \hline \displaystyle \frac{dV}{dt}&&+&0&-&\\ \hline V(t)&0&\nearrow &最大&\searrow &0\\ \hline \end{array}$