東京女子大学の問題【2021年1日目第1問・第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

対数関数に関する問題とベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)等比数列と対数関数の融合問題です。

等比数列の初項を $a$ 、公比を $r$ とする数列を $\{ a_{n}\}$ とすると $a_{n}=ar^{n-1}$ となります。

したがって、問題文の式を計算していくと

$(l-m)\log_{2}{a_{n}}+(m-n)\log_{2}{a_{l}}+(n-l)\log_{2}{a_{m}}$

$=(l-m)\log_{2}{ar^{n-1}}+(m-n)\log_{2}{ar^{l-1}}+(n-l)\log_{2}{ar^{m-1}}$

$=(l-m)\{ \log_{2}{a}+(n-1)\log_{2}{r}\} +(m-n)\{ \log_{2}{a}+(l-1)\log_{2}{r}\}$

$\ +(n-l)\{ \log_{a}+(m-1)\log_{2}{r}\}$

$=(l-m+m-n+n-l)\log_{2}{a}$

$\ +(ln-mn-l+m+lm-ln-m+n+mn-lm-n+l)\log_{2}{r}$

$=0$

(2)この問題に関しては、ベクトルの基本的な計算（ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ ）で解くことができます。

$\displaystyle \overrightarrow{CP}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b},\ \overrightarrow{CQ}=\frac{3}{4}\vec{b},\ \overrightarrow{CR}=\frac{1}{2}\vec{a}$ であることから

$\displaystyle \overrightarrow{RP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CR}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

$\displaystyle \overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{CR}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$

となります。最終的には $\angle PRQ$ の大きさを求めるのですが、 $\cos{\angle PRQ}$ の値が分かれば求められます。

ベクトルの内積の定義から $\displaystyle \cos{\angle PRQ}=\frac{\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}}{|\overrightarrow{RP}||\overrightarrow{RQ}|}$ ですので、 $\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}$ の値と $|\overrightarrow{RP}|,\ |\overrightarrow{RQ}|$ の値が分かれば良いということになります。