マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2021年1日目第3問】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部1日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

2つの曲線で囲まれる部分の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 f(x)-g(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)(x-2)(x+2)となりますので f(x)\geqq g(x)すなわち f(x)-g(x)\geqq 0となる xの値の範囲は -2\leqq x \leqq 1,\ 2\leqq xとなります。

 y=f(x)のグラフと y=g(x)のグラフとで囲まれる部分を調べるためにグラフを描いてみます。

まずは f(x)の増減を調べてみます。この関数は3次関数なので、導関数を求めて増減を調べます。

 f^{\prime }(x)=3x^{2}+2x-1=(3x-1)(x+1)となりますので、 f(x)の増減は次のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-1&\cdots &\displaystyle \frac{1}{3}&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &3&\searrow &\displaystyle \frac{49}{27}&\nearrow \\ \hline \end{array}

次に、 g(x)の増減を調べてみます。この関数は2次関数なので平方完成をして頂点を求めるのが普通ですが、今回はあえて f(x)のときと同じように導関数を用いて増減を調べてみます。

 g^{\prime }(x)=4x+3となりますので、 g(x)の増減は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle -\frac{3}{4}&\cdots \\ \hline g^{\prime }(x)&-&0&+\\ \hline g(x)&\searrow &\displaystyle -\frac{25}{8}&\nearrow \\ \hline \end{array}

図を描くと次のようになります。(緑色の曲線が y=f(x)、青色の曲線が y=g(x)です)

2ヶ所の隙間(ここが y=f(x)のグラフと y=g(x)とで囲まれる部分)がありますのでこの面積を求めます。

面積を求めるためには積分をしますが、その積分区間を求めておく必要があります。

そのために2つの曲線の交点の x座標を求めますが、それは最初に求めてあります。

また、2つの曲線の上下関係も最初に求めてありますので、これを基に積分の計算を行います。

求める部分の面積は

 \displaystyle \int_{-2}^{1}(x^{3}-x^{2}-4x+4)dx+\int_{1}^{2}(-x^{3}+x^{2}+4x-4)dx

 \displaystyle =\frac{71}{6}

となります。

いかがだったでしょうか?

積分の計算の準備も計算そのものも大変かと思います。

しかし、これらはすべて重要なことですので一つずつ丁寧に行っていくことが大切です。

図を描くとよりわかりやすくなります。

一番面倒なところですが、地道にやっていくしかなさそうですね…。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper