ベクトルの問題ver.20220421 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週はベクトルの入試問題です。

今回は2018年神戸大学で出題された問題です。

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難易度は☆☆☆☆です。

今回も空間ベクトルの正四面体の問題です。解く方針自体はそこまで難しくはないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

ベクトルの基本は

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

です。これに基づくと

$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ},\ \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}$

となります。あとは $\overrightarrow{OP},\ \overrightarrow{OQ},\ \overrightarrow{OR}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ を用いて表せば(1)はクリアです。

立体 $OABC$ は正四面体なので

$\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1,\ \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$

です。これらの値を使いますが、 $\displaystyle \angle PQR=\frac{\pi }{2}$ のとき $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=0$ になります。

ここで得られる $t$ の方程式は2次方程式ですので、 $t$ の値が2つになる可能性があります。その場合は2つとも出します。これで(2)はクリアです。

$t$ の値が(2)で求めた値であるとき、 $\triangle PQR$ は直角三角形になりますので、面積は

$\displaystyle \triangle PQR=\frac{1}{2}|\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{QR}|$

となります。 $t$ の値で場合分けをして求めていきます。

解く方針自体はすぐに立てられましたが、計算が少ししんどいかもしれません。

最後の面積の値が不安でしたが、入試問題だとこんなものでしょうか。

数値が複雑になってくるとあっているかどうか不安になりますね…。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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