マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2008年前期日程第4問】

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今週は首都大学東京2007年・2008年の問題です。

今回は2008年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆☆です。

条件を満たす (a,b)の範囲を図示する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 f(x)=(a+8b)x^{2}-8bx+b 0\leqq x\leqq1の範囲で f(x)\gt 0となるような (a,b)の条件を求めます。

2次の係数にも文字式がありますので、2次の係数が0のときとそうでないときに場合分けをします。

 a+8b=0のとき、 f(x)=-8bx+bとなりますが満たすべき条件は f(0)\gt 0かつ f(1)\gt 0です。

したがって、 \left \begin{array}{ccc}b&\gt &0\\ -7b&\gt &0\end{array}\right.が条件ですが、これを満たす bの値は存在しません。

 a+8b\not= 0のとき、 f(x) xに関する2次関数になりますので、平方完成をすると

 \displaystyle f(x)=(a+8b)\left( x-\frac{4b}{a-8b}\right) ^{2}+\frac{ab-8b^{2}}{a+8b}

となります。したがって、この2次関数のグラフの軸は \displaystyle x=\frac{4b}{a+8b}ですので、この軸が 0\leqq x\leqq 1の範囲内に入っているかそうでないか場合分けをします。

 \displaystyle \frac{4b}{a+8b}\lt 0または \displaystyle 1\lt\frac{4b}{a+8b}すなわち b\lt 0または \displaystyle b\gt -\frac{1}{4}aのとき

 f(0)=b\gt 0,\ f(1)=a+b\gt 0

が条件となりますので、 b\gt 0または \displaystyle b\gt -\frac{1}{4}aかつ b\gt 0かつ b\gt -aが導き出されます。

 \displaystyle 0\leqq \frac{4b}{a+8b}\leqq 1すなわち 0\leqq b\leqq -\frac{1}{4}aのとき

 f(0)\gt 0,\ f(1)\gt 0, f\left( \frac{4b}{a+8b}\right) \gt 0

が条件となりますので、  \displaystyle 0\leqq b\leqq -\frac{1}{4}aかつ b\lt 0かつ b\lt -aかつ \displaystyle b\gt \frac{1}{8}が導き出されます。

したがって、条件を満たす (a,b)を図示したとき、斜線を入れる部分は0番のみとなります。

いかがだったでしょうか?

条件をあぶり出すことが難しかったかと思います。

 y=f(x)のグラフの概形で場合分けするということを考えるとうまくいくことがあります。

今回の場合は y=f(x)のグラフが放物線になるか直線になるかで場合分けを行いました。

あとはどこに斜線を入れれば良いかを考えるだけです。

 

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