マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220718

入試問題

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今週は東京未来大学2016年入試の問題です。

今回は1日目の第1問の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

基本的な問題でが並んでいる小問集合の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)分母の有理化をする問題です。

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$ のタイプと $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ タイプが基本パターンです。

今回の問題のパターンは後者のパターンです。

これは乗法公式 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ を使って根号を取り払うことを考えます。

$\displaystyle \frac{3+sqrt{6}}{3-\sqrt{6}}=\frac{(3+\sqrt{6})^{2}}{3^{2}-(\sqrt{6})^{2}}$ のようにして分母の有理化を行います。

$\displaystyle a=\frac{15+6\sqrt{6}}{3}=5+2\sqrt{6}$ となりますので、

$\displaystyle \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{(6+2\sqrt{6})^{2}}$

$\displaystyle =\frac{1}{49+20\sqrt{6}}$

$\displaystyle =\frac{49-20\sqrt{6}}{2401-2400}=49-20\sqrt{6}$

(2)5進法の計算問題です。

5で繰り上がることを考えて計算を行うと $334+43=432$ となります。

少し計算が大変ですが、10進法に直して計算することも良いかもしれません。

(3)三角形の形状を決定する問題です。

三角形の内角の和が180°であることから、 $A+B+C=180^{\circ }$ となりますので $\cos{(B+C)}=\cos{(180^{\circ }-A)}=-\cos{A}$ となります。

したがって、条件は $\cos{A}=-\cos{A}$ ですので $\cos{A}=0$ であることが導出されます。

このことから、 $A=90^{\circ }$ になりますので、この三角形は $\angle A=90^{\circ }$ の直角三角形です。

(4)各位には1から4のいずれかが入りますので、できる自然数の個数は

$4\times 4\times 4\times 4=256$ 通り

いかがだったでしょうか？

定期テストで出題されそうな問題でした。

簡単といっても基本にはなりますので、こういう問題を大切に扱っていくべきではないかと思います。

　

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