マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220822

数と式入試問題

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京未来大学2021年の問題＋αです。

今回は第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

教科書用の問題集で出てくるような計算問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)因数分解の公式 $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ を用いると

$a^{3}+27b^{3}=(a+3b)(a^{2}-3ab+9b^{2})$

(2)分母の有理化を行うと $a=\sqrt{7}-\sqrt{6},\ b=\sqrt{7}+\sqrt{6}$ となりますので $a+b=2\sqrt{7},\ ab=1$ です。

$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$ であることを用いると

$a^{3}+b^{3}=(2\sqrt{7})^{3}-3\times 1\times 2\sqrt{7}$

$=56\sqrt{7}-6\sqrt{7}=50\sqrt{7}$

(3) $2＜\sqrt{6}＜3$ なので $2＜5-\sqrt{6}＜3$ です。

したがって、 $a=2,\ b=3-\sqrt{6}$ となりますので

$\displaystyle a^{2}+b+\frac{1}{b}=4+3-\sqrt{6}+\frac{1}{3-\sqrt{6}}$

$\displaystyle =7-\sqrt{6}+\frac{3+\sqrt{6}}{3}$

$\displaystyle =7-\sqrt{6}+1+\frac{\sqrt{6}}{3}=8-\frac{2\sqrt{6}}{3}$

(4) $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ を用いると

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$

$=5+2\sqrt{6}-5=2\sqrt{6}$

いかがだったでしょうか？

試験範囲が数学Ⅰと数学Ａだけだとこのような問題が出るのでしょうか。

他の入試問題では計算過程で必要になりますので油断大敵です。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper