マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2009年中高共通第5問】

数列教員採用試験の過去問

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今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

$\displaystyle a_{1}=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+2n\ (n=1,2,3,\cdots )$ で定められた数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

漸化式から数列の一般項を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ とおくと、 $b_{1}=1,\ b_{n+1}=b_{n}+2n$ となります。したがって、 $b_{n+1}-b_{n}=2n$ となりますので、数列 $\{ b_[n}\}$ の階差数列が $2n$ であることがわかります。このことから、数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項は $n\geqq 2$ のとき

$\begin{eqnarray*} b_{n}&=&b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\ &=&1+n(n-1)\\ &=&n^{2}-n+1\end{eqnarray*}$

となります。これは $n=1$ のときも成り立ちますので $b_{n}=n^{2}-n+1$ となります。

置き換えを元に戻すと $\displaystylre a_{n}=\frac{1}{n^{2}-n+1}$ となります。

いかがだったでしょうか？

教科書の応用例題くらいの難易度であったかと思います。

漸化式の解き方はその形によってパターンがありますので、それに応じた解き方を覚えておいたほうが良いです。

今回のパターンは階差数列が出ますので、階差数列を求めるやり方で解くことができます。

　

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